Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
（1）如图，将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D．
①比较大小：PC

 

PD． （选择“＞”或“＜”或“=”填空）；
②证明①中的结论．
（2）将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OA交于点C，且OC=1，另一直角边与直线OB，直线OA分别交于点D，E，当以P，C，E为顶点的三角形与△OCD相似时，试求OP的长．（提示：请先在备用图中画出相应的图形，再求OP的长）．°

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）过P作PH⊥OA，PN⊥OB，根据三角形内角和的度数求出∠HPC=∠NPD，再根据角平分线的性质得出PH=PN，最后根据全等三角形的判定得出△PCH≌△PDN，
即可得出答案．
（2）分两种情况进行讨论：①若PD与边OB相交，根据三角形相似得出∠PEC=∠DCO，再根据DO⊥OC，OC=1，得出OP为Rt△CPE斜边上的中线，即可求出OP的长；②若PD与边OB的反向延长线相交，过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，根据三角形相似得出∠PCE=∠OCD，再根据∠PCO+∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，得出∠PDO=∠PCO，在Rt△PHC和Rt△PND中，根据全等三角形的判定得出Rt△PHC≌Rt△PND，再根据全等三角形的性质得出∠PCO和∠ODP的度数，从而得出OP=OD，设OP=x，根据HC=DN，求出x的值，即可得出答案．

解答：解（1）①PC=PD；
故答案为：=；

②如图1：过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H、N，
得∠HPN=90°，
∴∠HPC+∠CPN=90°，
∵∠CPN+∠NPD=90°，
∴∠HPC=∠NPD，
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PH=PN，
在△PCH和△PDN中，
∵

∠HPC=∠NPD PH=PN ∠PHC=∠PND

，
∴△PCH≌△PDN，
∴PC=PD．

（2）如图2：①若PD与边OB相交，
∵∠PCE＞∠DCO，∠CPE=∠DOC=90°
∴由△PCE与△OCD相似可得∠PEC=∠DCO，
∴DE=CD，而DO⊥OC，
∴OE=OC=1，
∴OP为Rt△CPE斜边上的中线，
∴OP=

1

2

EC=OC=1，

②如图3：若PD与边OB的反向延长线相交，
过P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为H，N，
则PH=PN
∵△PCE与△DCO相似，且∠PEC＞∠OCD，∠CPE=∠DOC=90°
∴∠PCE=∠OCD，
又∵∠PCO+∠PEC=90°，∠PDO+∠OED=90°，
且∠PEC=∠OED，
∴∠PDO=∠PCO．
在Rt△PHC和Rt△PND中，
∵

∠PHD=∠PHC ∠PDO=∠PCO PH=PN

，
∴Rt△PHC≌Rt△PND，
∴HC=ND，PC=PD，
∴∠PCD=∠PDC=45°，
∴∠PCO=∠DCO=∠PDO=22.5°
又∠BOM=∠ODP+∠OPD=45°，
∴∠ODP=∠OPD=22.5°
∴OP=OD，
设OP=x，则HC=OC-OH=1-

2

2

x，
而DN=DO+ON=OP+ON=x+

2

2

x，
∴1-

2

2

x=x+

2

2

x，
∴x=

2

-1，即OP=

2

-1，
综上所述，满足条件的OP=1或OP=

2

-1．

点评：此题考查了相似形的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、相似三角形的性质、中线的性质、三角形内角和等知识点，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．