Question

10．如图，四边形ACFD和四边形BCGE都是正方形，点D在y轴上，点A，B均在x轴上，AB=4，AC=$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{13}$，求点D，C，E的坐标．

Answer 1

分析 作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，则∠AMC=∠BNE=90°，先由AAS证明△AOD≌△CMA，得出OD=MA，OA=CM，同理：△BCM≌△EBN，得出BN=CM，EN=BM，设MA=x，则BM=4-x，在Rt△ANC和Rt△BMC中，由勾股定理得出方程，解方程求出MA=1，得出BM=3，由勾股定理求出CM，得出OD=1，OM=3，EN=3，ON=8，即可得出点D，C，E的坐标．

解答 解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，如图所示：
则∠AMC=∠BNE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ACFD和四边形BCGE都是正方形，
∴AD=AC=4，BC=BE=$\sqrt{13}$，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AOD和△CMA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DOA=∠AMC=90°}&{\;}\\{∠1=∠3}&{\;}\\{AD=CA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△CMA（AAS），
∴OD=MA，OA=CM，
同理：△BCM≌△EBN，
∴BN=CM，EN=BM，
设MA=x，则BM=4-x，
在Rt△ANC和Rt△BMC中，由勾股定理得：
CM²=AC²-MA²=BC²-BM²，
即（$\sqrt{5}$）²-x²=（$\sqrt{13}$）²-（4-x）²，
解得：x=1，
∴MA=1，BM=4-1=3，
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-M{A}^{2}}$=2，
∴OD=1，OA=2，EN=3，OM=3，BN=2，
∴ON=2+4+2=8，
∴点D的坐标为（0，1），点C的坐标为（3，2），点E的坐标为（8，3）．

点评 本题考查了正方形的性质、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．