[题目]如图1.水平放置一个三角板和一个量角器.三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上.∠ACB=90°.∠BAC=30°.OD=3cm.开始的时候BD=1cm.现在三角板以2cm/s的速度向右移动．(1)当点B于点O重合的时候.求三角板运动的时间,(2)三角板继续向右运动.当B点和E点重合时.AC与半圆相切于点F.连接EF.如图2所示．①求证:EF平分∠AEC,②求EF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm，开始的时候BD=1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．

（1）当点B于点O重合的时候，求三角板运动的时间；

（2）三角板继续向右运动，当B点和E点重合时，AC与半圆相切于点F，连接EF，如图2所示．

①求证：EF平分∠AEC；

②求EF的长．

【答案】（1）2s（2）①证明见解析，②

【解析】试题分析：（1）由当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，又由三角板以2cm/s的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；

（2）①连接OF，由AC与半圆相切于点F，易得OF⊥AC，然后由∠ACB=90°，易得OF∥CE，继而证得EF平分∠AEC；②由△AFO是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm，可求得AF的长，由EF平分∠AEC，易证得△AFE是等腰三角形，且AF=EF，则可求得答案．

试题解析：(1)∵当点B于点O重合的时候，BO=OD+BD=4cm，

∴t=42=2(s)；

∴三角板运动的时间为：2s；

(2)①证明：连接O与切点F，则OF⊥AC，

∵∠ACE=90°，

∴EC⊥AC，

∴OF∥CE，

∴∠OFE=∠CEF，

∵OF=OE，

∴∠OFE=∠OEF，

∴∠OEF=∠CEF，

即EF平分∠AEC；

②由①知：OF⊥AC，

∴△AFO是直角三角形，

∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm，

∴tan30°=3AF，

∴AF=3cm，

由①知：EF平分∠AEC，

∴∠AEF=∠CEF=∠AEC=30°，

∴∠AEF=∠EAF，

∴△AFE是等腰三角形，且AF=EF，

∴EF=3cm.

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