Question

17．若抛物线L：y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，abc≠0）与直线l都经过y轴上的一点P，且抛物线L的顶点Q在直线l上，则称此直线l与该抛物线L具有“一带一路”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“带线”，抛物线L叫做直线l的“路线”．
（1）若直线y=mx+1与抛物线y=x²-2x+n具有“一带一路”关系，求m，n的值；
（2）若某“路线”L的顶点在反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象上，它的“带线”l的解析式为y=2x-4，求此“路线”L的解析式；
（3）当常数k满足$\frac{1}{2}$≤k≤2时，求抛物线L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围．

Answer 1

分析 （1）找出直线y=mx+1与y轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出n的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；
（2）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与x轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；
（3）由抛物线解析式找出抛物线与y轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l的解析式，找出该直线与x、y轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积S关于k的关系上，由二次函数的性质即可得出结论．

解答 解：（1）令直线y=mx+1中x=0，则y=1，
即直线与y轴的交点为（0，1）；
将（0，1）代入抛物线y=x²-2x+n中，
得n=1．
∵抛物线的解析式为y=x²-2x+1=（x-1）²，
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．
将点（1，0）代入到直线y=mx+1中，
得：0=m+1，解得：m=-1．
答：m的值为-1，n的值为1．
（2）将y=2x-4代入到y=$\frac{6}{x}$中有，
2x-4=$\frac{6}{x}$，即2x²-4x-6=0，
解得：x₁=-1，x₂=3．
∴该“路线”L的顶点坐标为（-1，-6）或（3，2）．
令“带线”l：y=2x-4中x=0，则y=-4，
∴“路线”L的图象过点（0，-4）．
设该“路线”L的解析式为y=m（x+1）²-6或y=n（x-3）²+2，
由题意得：-4=m（0+1）²-6或-4=n（0-3）²+2，
解得：m=2，n=-$\frac{2}{3}$．
∴此“路线”L的解析式为y=2（x+1）²-6或y=-$\frac{2}{3}$（x-3）²+2．
（3）令抛物线L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k中x=0，则y=k，
即该抛物线与y轴的交点为（0，k）．
抛物线L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的顶点坐标为（-$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$，$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$），
设“带线”l的解析式为y=px+k，
∵点（-$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$，$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$）在y=px+k上，
∴$\frac{4ak-（3{k}^{2}-2k+1）^{2}}{4a}$=-p$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2a}$+k，
解得：p=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$．
∴“带线”l的解析式为y=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k．
令“带线”l：y=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k中y=0，则0=$\frac{3{k}^{2}-2k+1}{2}$x+k，
解得：x=-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$．
即“带线”l与x轴的交点为（-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$，0），与y轴的交点为（0，k）．
∴“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积S=$\frac{1}{2}$|-$\frac{2k}{3{k}^{2}-2k+1}$|×|k|，
∵$\frac{1}{2}$≤k≤2，
∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{k}$≤2，
∴S=$\frac{{k}^{2}}{3{k}^{2}-2k+1}$=$\frac{1}{3-\frac{2}{k}+（\frac{1}{k}）^{2}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{k}-1）^{2}+2}$，
当$\frac{1}{k}$=1时，S有最大值，最大值为$\frac{1}{2}$；
当$\frac{1}{k}$=2时，S有最小值，最小值为$\frac{1}{3}$．
故抛物线L：y=ax²+（3k²-2k+1）x+k的“带线”l与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围为$\frac{1}{3}$≤S≤$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标；（2）根据直线与反比例函数的交点设出抛物线的解析式；（3）找出“带线”l与x轴、y轴的交点坐标．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）数据稍显繁琐，解决该问时，借用三角形的面积公式找出面积S与k之间的关系式，再利用二次函数的性质找出S的取值范围．