Question

问题背景：
如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接A B′与直线l交于点C，则点C即为所求．

（1）实践运用：
如图（b），在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（4，2），要在x轴上找一点C，使AC、BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于x轴的对称点B′，且B′的坐标为（4，-2），连接AB′与x轴交于点C，则点C即为所求，此时AC+BC的最小值为

 

．
（2）实践再运用：
如图（c），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD 的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为

 

．
（3）运用拓展：
如图（d），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

Answer 1

考点：圆的综合题,轴对称-最短路线问题

专题：综合题

分析：（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征得到B′点的坐标为（4，-2），再根据两点间的距离公式可计算出AB′=5，然后利用两点之间线段最短可得到AC+BC的最小值为5；
（2）作出点B关于CD的对称点B′，连结OA、OB′，AB′交CD于P′，利用对称性得到BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，根据圆周角定理由∠ACD=30°，B为弧AD 的中点得到∠AOB=60°，∠DOB′=30°，所以∠AOB′=90°，根据等腰直角三角形的性质得AB′=

2

OA=2

2

，然后利用两点之间线段最短可得到当P为运动到P′点，BP+AP的值最小，最小值为2

2

；
（3）作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，根据角平分线定理由AD为∠BAC的平分线得到E′H=E′F′，则BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，根据等腰直角三角形性质得BH=

2

2

AB=5

2

，所以当E点在E′点的位置时，BE+EF有最小值，最小值为5

2

．

解答：解：（1）如图（b），
∵点B关于x轴的对称点为B′，
∴B′点的坐标为（4，-2），
∴AB′=

42+(1+2)2

=5，
∵CB=CB′，
∴AC+BC的最小值为5；
（2）如图（c），作出点B关于CD的对称点B′，连结OA、OB′，AB′交CD于P′，则BD弧=B′D弧，AP′+P′B=AP′+P′B′=AB′，
∵∠ACD=30°，B为弧AD 的中点，
∴∠AOB=60°，∠DOB′=30°，
∴∠AOB′=90°，
∵OA=2，
∴AB′=

2

OA=2

2

，
∴P为运动到P′点，BP+AP有最小值，最小值为2

2

；
故答案为5，2

2

；
（3）如图（d），作BH⊥AC于H，BH交AD于E′，作E′F′⊥AB于F′，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴E′H=E′F′，
∴BE′+E′F′=BE′+E′H=BH，
在Rt△ABH中，AB=10，∠BAC=45°，
∴BH=

2

2

AB=5

2

，
∴当E点在E′点的位置时，BE+EF有最小值，最小值为5

2

．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、等腰直角三角形的性质和角平分线定理；会解决轴对称-最短路线问题．