Question

如图，直线BE交x轴正半轴于点B（a，0），交y轴正半轴于点E（0，b），且a、b满足

a-4

+|4-b|=0，点A为BE的中点，
（1）写出A点坐标为

（2，2）

；
（2）如图，若C为线段OB上一点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连BD，求证：OA∥BD；
（3）如图，P为x轴上B点右侧任意一点，以EP为边作等腰Rt△EPM，其中PE=PM，直线MB交y轴点Q，当点P在x轴上运动时，线段OQ的长是否发生变化？若不变；求其值；若变化，求线段OQ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意知a=4，b=4，得出△EOB为等腰直角三角形，又有A为EA的中点，得出点A的坐标．
（2）利用等腰直角三角形△ACD求出∠CAB=∠CDB，再利用对顶角相等，从而得出∠ABD=90°=∠OAB，再根据平行线的判定得出OA∥BD．
（3）利用等腰直角三角形的特点得出∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．又三角形全等的性质得出MD=OP，PD=AO=BO，OP=OA+AP=PD+AP=AD，最后得出无论P点怎么动OQ的长不变．

解答：解：（1）∵

a-4

+

.

b-4

.

=0
∴a=4，b=4，
∴△EOB为等腰直角三角形．
∴点A的坐标为（2，2），
故答案为（2，2）；

（2）∵以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，
∴∠CAB+∠BAD=45°，∠CDB+∠BAD+∠ADC=90°，
∴∠CAB=∠CDB，
∴∠ABD=90°=∠OAB，
∴OA∥BD；

（3）过M作MD⊥x轴，垂足为D．
∵∠EPM=90°，
∴∠EPO+MPD=90°．
∵∠QOB=∠MDP=90°，
∴∠EPO=∠PMD，∠PEO=∠MPD．
在△PEO和△MPD中，

∠EPO=∠PMD ∠PEO=∠MPD EP=MP

∴△PEO≌△MPD，
MD=OP，PD=AO=BO，
OP=OA+AP=PD+AP=AD，
∴MD=AD，∠MAD=45°．
∵∠BAO=45°，
∴△BAQ是等腰直角三角形．
∴OB=OQ=4．
∴无论P点怎么动OQ的长不变．

点评：本题考查了绝对值的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，题目的综合性比较强，难度中等．