Question

7．如图，A（0，1），B（$\sqrt{3}$，1），将△ABO绕点B旋转到△A₁B₁O₁的位置，点A的对应点A₁落在直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上，再将△A₁BO₁绕点A₁旋转到△A₂B₁O₂的位置，点O₁的对应点O₂也落在直线上，依次下去…，若点则点B₈坐标是（6+7$\sqrt{3}$，7+2$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先根据勾股定理求得OB=2，由旋转的性质知A₁B=AB=$\sqrt{3}$、A₁O₂=OA=1、O₂B₂=OB=2，从而得出BB₂=3+$\sqrt{3}$，根据直线斜率的几何意义求出BC、B₂C的长度，探究规律即可解决问题．

解答 解：∵OA=1，AB=$\sqrt{3}$，
∴OB=2，

由题意知，A₁B=AB=$\sqrt{3}$，A₁O₂=OA=1，O₂B₂=OB=2，
∴BB₂=3+$\sqrt{3}$，
∵tan∠B₂BC=k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠B₂BC=30°，
∴BC=BB₂cos∠B₂BC=（3+$\sqrt{3}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，
B₂C=BB₂sin∠B₂BC=（3+$\sqrt{3}$）×$\frac{1}{2}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
∴B2（$\sqrt{3}$+$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，1+$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），
B₄（$\sqrt{3}$+2×$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，1+2×$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），
B₆（$\sqrt{3}$+3×$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，1+3×$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），
B₈（$\sqrt{3}$+4×$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$，1+4×$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），即（6+7$\sqrt{3}$，7+2$\sqrt{3}$），
故答案为：（6+7$\sqrt{3}$，7+2$\sqrt{3}$）．

点评 本题考查坐标与图形的变换-旋转，一次函数图形与几何变换等知识，解题的关键是学会从特殊到一般，探究规律，由规律解决问题．