Question

如图，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）k=_____，点A的坐标为_____，点B的坐标为_____；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形。

Answer 1

解：（1），  A（-1，0），  B（3，0）． （2）如图（1），抛物线的顶点为M（1，-4），连结OM． 则 △AOC的面积=，△MOC的面积=， △MOB的面积=6，  ∴ 四边形 ABMC的面积 =△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9． （3）如图（2），设D（m，），连结OD． 则 0＜m＜3， ＜0． 且 △AOC的面积=，△DOC的面积=， △DOB的面积=-（）， ∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积 = =．  ∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为． （4）有两种情况： 如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C． ∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3． ∴ 点E的坐标为（0，3）． ∴ 直线BE的解析式为． 由 解得 ∴ 点Q1的坐标为（-2，5）． 如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2． ∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3． ∴ 点F的坐标为（-3，0）． ∴ 直线CF的解析式为． 由 解得 ∴点Q2的坐标为（1，-4）． 综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

图（1）   图（4）