Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E是边BC的三等分点，连接AD、AC．则下列结论正确的是①②④．
①BD=AD；②∠CAD=90°；③若AB=6，则AE=2；④△ADE是等边三角形．

Answer 1

分析 作AM⊥BC于M，DN⊥AB于N，设AB=AC=6，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B=∠C=30°，由直角三角形的性质得出AM=$\frac{1}{2}$AB=3，BM=CM=$\sqrt{3}$AM=3$\sqrt{3}$，得出BC=2BM=6$\sqrt{3}$，求出BD=DE=CD=2$\sqrt{3}$，DN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，得出BN=$\sqrt{3}$DN=3=$\frac{1}{2}$AB，AN=BN，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，①正确；由等腰三角形的性质得出∠DAN=∠B=30°，同理：CE=AE，∠CAE=∠C=30°，得出AD=DE=AE=2$\sqrt{3}$，△ADE是等边三角形，③错误，④正确，求出∠CAD=90°，②正确；即可得出结论．

解答 解：作AM⊥BC于M，DN⊥AB于N，如图所示：
设AB=AC=6，
∵∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴BM=CM=$\sqrt{3}$AM=3$\sqrt{3}$，
∴BC=2BM=6$\sqrt{3}$，
∵点D、E是边BC的三等分点，
∴BD=DE=CD=2$\sqrt{3}$，
∴DN=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{3}$，
∴BN=$\sqrt{3}$DN=3=$\frac{1}{2}$AB，
∴AN=BN，
∵DN⊥AB，
∴BD=AD，①正确；
∴∠DAN=∠B=30°，
同理：CE=AE，∠CAE=∠C=30°，
∴AD=DE=AE=2$\sqrt{3}$，△ADE是等边三角形，③错误，④正确，
∴∠DAE=60°，
∴∠CAD=60°+30°=90°，②正确；
故答案为：①②④．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．