Question

如图，直线l经过正方形ABCD的顶点A，先分别过此正方形的顶点B、D作BE⊥l于点E、DF⊥l于点F．然后再以正方形对角线的交点O为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD，CD交于G，H两点．若EF=2

5

，S_△ABE=2，则线段GH长度的最小值是

 

．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAD=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAE=∠ADF，再利用“角角边”证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，设AE=x，BE=y，然后列出方程组求出x、y的值，再利用勾股定理列式求出正方形的边长AB，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠OAG=∠ODH=45°，根据同角的余角相等求出∠AOG=∠DOH，然后利用“角边角”证明△AOG和△DOH全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=OH，判断出△OGH是等腰直角三角形，再根据垂线段最短和等腰直角三角形的性质可得OH⊥CD时GH最短，然后求解即可．

解答：解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵DF⊥l，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
在△ABE和△DAF中，

∠BAE=∠ADF ∠AFD=∠BEA=90° AB=AD

，
∴△ABE≌△DAF（AAS），
∴BE=AF，
设AE=x，BE=y，
∵EF=2

5

，S_△ABE=2，
∴

x+y=2 5 1 2 xy=2

，
消掉y并整理得，x²-2

5

x+4=0，
解得x₁=

5

-1，x₂=

5

+1，
当x₁=

5

-1，y₁=

5

+1，
当x₂=

5

+1，y₂=

5

-1，
∴由勾股定理得，AB=

( 5 -1)2+( 5 +1)2

=2

3

，
在正方形ABCD中，∠OAG=∠ODH=45°，OA=OD，∠AOD=90°，
∴∠AOG+∠DOG=90°，
∵OG⊥OH，
∴∠DOH+∠DOG=90°，
∴∠AOG=∠DOH，
在△AOG和△DOH中，

∠AOG=∠DOH OA=OD ∠OAG=∠ODH

，
∴△AOG≌△DOH（ASA），
∴OG=OH，
∴△OGH是等腰直角三角形，
由垂线段最短可得，OH⊥CD时OH最短，GH也最短，
此时，GH的最小值为

2

×

2 3

2

=

6

．
故答案为：

6

．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于多次证明三角形全等并判断出GH长度最小时的情况．