Question

4．如图，把边长为4的等边三角形OAB置于平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，OB在x轴的负半轴上，点A在第二象限，AC⊥x轴于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）设∠ABO的平分线交y轴于点D，请直接写出以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH的顶点H的坐标；
（3）将△ACB绕点C顺时针方向旋转得到△A′C′B′，设A′C′交直线OA于点E，当△COE的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$时，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的边长为4，求出OC，AC即可；
（2）先判断出以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH的顶点在直线AB上或x轴，分两种情况先设出点H的坐标，用HB=HD建立方程即可；
（3）先设出点E的坐标，△COE的面积是以OC为底，点E的纵坐标的绝对值为高，建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC是边长为4的等边三角形，
∴OC=BC=$\frac{1}{2}$0B=2，AC=2$\sqrt{3}$，
∵点A在第二象限，
∴A（-2，2$\sqrt{3}$），
（2）∵等边三角形的∠ABO的平分线交y轴于点D，
∴∠ABD=∠OBD=30°，
设直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+m，
∵点B（-4，0）在直线BD和直线AB上，
∴b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，m=4$\sqrt{3}$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，直线AB的解析式为y=$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴点D（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）
∵以BD为底边，底角为30°的等腰三角形BDH，
∴点H可能在直线AB上，也可能在x轴上，
①点H在x轴上时，设点H（n，0），
∴n-（-4）=$\sqrt{{n}^{2}+（{\frac{4\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$，
∴n=-$\frac{4}{3}$，
∴H（-$\frac{4}{3}$，0），
②点H在直线AB上，设H（x，$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$），
∴AH=DH，
∴（x+4）²+（$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$）²=x²+（$\sqrt{3}$x+$\frac{8\sqrt{3}}{3}$）²，
∴x=-$\frac{8}{3}$，
∴H（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
∴点H（-$\frac{4}{3}$，0）或H（-$\frac{8}{3}$，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
（3）设直线OA解析式为y=kx，
∵点A（-2，2$\sqrt{3}$）在直线OA上，
∴k=-$\sqrt{3}$，
∴直线OA解析式为y=-$\sqrt{3}$x，
设点E（a，-$\sqrt{3}$a）
∵OC=2，
∴S_△COE=$\frac{1}{2}$×OC×|-$\sqrt{3}$a|=$\frac{1}{2}$×2×|$\sqrt{3}$a|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴a₁=$\frac{1}{4}$，a₂=-$\frac{1}{4}$，
∴E₁（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{4}$），E₂（-$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$）．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，用待定系数法求直线解析式，平面内两点间的距离公式，解本题的关键是用待定系数法求直线解析式，根据点的特点设出点，建立方程是解本题的难点．