Question

如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；
（3）若tan∠CED=

1

2

，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB；即可得到证明；
（2）易得∠BCD=∠E，又有∠CBD=∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC²=BD•BE；
（3）易得△BCD∽△BEC，BD=x，由三角形的性质，易得BC²=BD•BE，代入数据即可求出答案．

解答：（1）证明：如图，连接OC，（1分）
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，（2分）
∴AB是⊙O的切线．（3分）

（2）解：BC²=BD•BE．（4分）
证明：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90°．
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），
∴∠BCD=∠E．（5分）
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC．（6分）
∴

BC

BE

=

BD

BC

．
∴BC²=BD•BE．（7分）

（3）解：∵tan∠CED=

1

2

，
∴

CD

EC

=

1

2

．
∵△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．（8分）
设BD=x，则BC=2x，
∵BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x•（x+6）．（9分）
∴x₁=0，x₂=2．
∵BD=x＞0，
∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）

点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．