Question

6．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（6，9）．双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）则k=27；点D（3，9）；点E（6，$\frac{9}{2}$）；
（2）若点F是边OC上一点，且△FCB与△DBE相似，求直线FB的解析式．

Answer 1

分析 （1）由点B的坐标及D为BC中点得出点D的坐标，据此可得k的值及反比例函数解析式，继而由点E横坐为6得出点E坐标；
（2）由点D、E坐标得出DB=3、BE=$\frac{9}{2}$，设点F（0，m），知CF=9-m、BC=6，再分△BCF∽△DBE、△BCF∽△EBD两种情况求得m的值，利用待定系数法可求得直线FB的解析式．

解答 解：（1）∵点B的坐标为（6，9），且四边形OABC是矩形，
∴OA=BC=6，OC=AB=9，
∵D为BC的中点，
∴点D坐标为（3，9），
将点D坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=27，
∵OA=6，
∴在y=$\frac{27}{x}$中，当x=6时，y=$\frac{27}{6}$=$\frac{9}{2}$，
则点E坐标为（6，$\frac{9}{2}$），
故答案为：27、3、9、6、$\frac{9}{2}$；

（2）∵点D（3，9）、E（6，$\frac{9}{2}$），
∴DB=3，BE=$\frac{9}{2}$，
设点F（0，m），
则CF=9-m、BC=6，
①当△BCF∽△DBE时，$\frac{BC}{DB}$=$\frac{CF}{BE}$，
∴$\frac{6}{3}$=$\frac{9-m}{\frac{9}{2}}$，
解得：m=0，即点F（0，0），
设直线FB解析式为y=nx，
将点B（6，9）代入，得：n=$\frac{3}{2}$，
则直线BF解析式为y=$\frac{3}{2}$x；
②当△BCF∽△EBD时，$\frac{BC}{EB}$=$\frac{CF}{BD}$，
∴$\frac{6}{\frac{9}{2}}$=$\frac{9-m}{3}$，
解得：m=5，即点F（0，5），
设直线BF解析式为y=ax+b，
将点B（6，9）、F（0，5）代入，得：
$\left\{\begin{array}{l}{6a+b=9}\\{b=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
则直线BF解析式为y=$\frac{2}{3}$x+5，
综上，直线BF解析式为y=$\frac{3}{2}$x或y=$\frac{2}{3}$x+5．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，相似三角形的性质，以及矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．