Question

如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且∠CAD=60°，DC=DE．
求证：
（1）AB=AF；
（2）A为△BEF的外心（即△BEF外接圆的圆心）．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明；
（2）根据三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等的性质只需证明AB=AF=AE，根据等腰三角形的性质和判定进行证明．
解答：证明：（1）∠ABF=∠ADC=120°-∠ACD=120°-∠DEC
=120°-（60°+∠ADE）=60°-∠ADE，（4分）
而∠F=60°-∠ACF，（6分）
因为∠ACF=∠ADE，（7分）
所以∠ABF=∠F，所以AB=AF．（8分）

（2）四边形ABCD内接于圆，所以∠ABD=∠ACD，（10分）
又DE=DC，所以∠DCE=∠DEC=∠AEB，（12分）
所以∠ABD=∠AEB，
所以AB=AE．（14分）
∵AB=AF，
∴AB=AF=AE，即A是三角形BEF的外心．（16分）
点评：综合运用了圆内接四边形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外心的性质．