Question

如图在锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12两动点M、N分别在AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边长向下作正方形MPQN，设MN=x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y
（1）求出△ABC的边BC上的高．
（2）如图，当正方形MPQN的边P恰好落在BC边上时，求x的值．

（3）如图，当PQ落△ABC外部时，求出y与x的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面积公式，三角形的面积=

1

2

×底×高计算即可；
（2）根据△AMN与△ABC相似，相似三角形对应高的比等于相似比列式计算；
（3）设正方形在△ABC内的边长为a，也就是△ABC的高在正方形内的长度，然后利用同（2）的运算，计算出a的长度，再利用矩形的面积公式进行解答．

解答：解：（1）∵S_△ABC=12，
∴

1

2

BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；

（2）设AD与MN相交于点H，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AH

AD

=

MN

BC

，
即

4-x

4

=

x

6

，
解得，x=

12

5

，
∴当x=

12

5

时正方形MPQN的边P恰好落在BC边上；

（3）设MP、NQ分别与BC相交于点E、F，
设HD=a，则AH=4-a，
由

AH

AD

=

MN

BC

，
得

4-a

4

=

x

6

，
解得，a=-

2

3

x+4，
∵矩形MEFN的面积=MN×HD，
∴y=x（-

2

3

x+4）=-

2

3

x2+4x（2.4＜x≤6）．

点评：本题主要考查了相似三角形的对应高的比等于对应边的比的性质，正方形的四条边都相等的性质，读懂题意，列出比例式是解题的关键，难度中等．