【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2)两点,顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置,将抛物线沿y轴平移后经过点C,求平移后所得图象的函数关系式.
【答案】(1)y=x2﹣3x+2;(2)y=x2﹣3x+1
【解析】
(1)利用待定系数法,将点A,B的坐标代入解析式即可求得;
(2)根据旋转的知识可得:A(1,0),B(0,2),由OA=1,OB=2,可得旋转后C点的坐标为(3,1),当x=3时,由y=x2-3x+2得y=2,可知抛物线y=x2-3x+2过点(3,2)故可知将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.于是得到平移后的抛物线解析式.
(1)已知抛物线y=x2+bx+c经过A(1,0),B(0,2),
∴,
解得,
∴所求抛物线的解析式为y=x2﹣3x+2;
(2)∵A(1,0),B(0,2),
∴OA=1,OB=2,
可得旋转后C点的坐标为(3,1),
当x=3时,由y=x2﹣3x+2得y=2,
可知抛物线y=x2﹣3x+2过点(3,2),
∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C.
∴平移后的抛物线解析式为:y=x2﹣3x+1;
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2,点D是边AB上的动点,将△ACD沿CD所在的直线折叠至△CDA的位置,CA'交AB于点E.若△A'ED为直角三角形,则AD的长为______.
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【题目】下面是小宇设计的“作已知直角三角形的中位线”的尺规作图过程.
已知:在△ABC中,∠C=90°.
求作:△ABC的中位线DE,使点D在AB上,点E在AC上.
作法:如图,
①分别以A,C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧交于P,Q两点;
②作直线PQ,与AB交于点D,与AC交于点E.
所以线段DE就是所求作的中位线.
根据小宇设计的尺规作图过程,
(1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹)
(2)完成下面的证明.
证明:连接PA,PC,QA,QC,DC,
∵PA=PC,QA= ,
∴PQ是AC的垂直平分线( )(填推理的依据).
∴E为AC中点,AD=DC.
∴∠DAC=∠DCA,
又在Rt△ABC中,有∠BAC+∠ABC=90°,∠DCA+∠DCB=90°.
∴∠ABC=∠DCB( )(填推理的依据).
∴DB=DC.
∴AD=BD=DC.
∴D为AB中点.
∴DE是△ABC的中位线.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=,BC=1,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩形AB′C′D′,点C的运动路径为弧CC′,当点B′落在CD上时,则图中阴影部分的面积为______
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=4,点D、E分别是边AB、AC的中点,连接DE,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角为α,BD、CE所在直线相交所成的锐角为β.
(1)问题发现当α=0°时,=_____;β=_____°.
(2)拓展探究
试判断:当0°≤α<360°时,和β的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.
(3)在△ADE旋转过程中,当DE∥AC时,直接写出此时△CBE的面积.
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【题目】如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P,Q分别是BC,AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是( )
A.10B.9C.8D.7
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
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【题目】已知:如图,反比例函数y= 的图象与一次函数y=x+b的图象交
于点A(1,4)、点B(-4,n).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式;
(2)求△OAB的面积;
(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
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【题目】如图,在等边△ABC中,D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,DE⊥AC,EF⊥AB,
FD⊥BC,则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于( )
A.1∶3 B.2∶3 C.∶2 D.∶3
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