Question

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A₁，A₂，A₃，…，A_n在y轴的正半轴上，点B₁，B₂，B₃，…，B_n在二次函数y=x²位于第一象限的图象上，若△OB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A_n-1B_nA_n都是等腰直角三角形，其中∠B₁=∠B₂=∠B₃=…=∠B_n=90°，则：
点B₁的坐标为（1，1）；
线段A₁A₂的长为4；
△A_n-1B_nA_n的面积为n²．

Answer 1

分析 作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，如图，设OC=a，根据等腰直角三角形的性质得到OC=A₁C=CB₁=a，则B₁（a，a），再把B₁（a，a）代入y=x²得a₁=0（舍去），a₂=1，所以B₁（1，1），同理可得B₂（2，4），则线段A₁A₂的长为4，利用上述规律得到A₂A₃=6，A_n-1A_n=2n，然后根据等腰直角三角形的面积公式计算∴△A_n-1B_nA_n的面积．

解答 解：作B₁C⊥y轴于C，B₂D⊥y轴于D，如图，
设OC=a，
∵△OB₁A₁为等腰直角三角形，
∴OC=A₁C=CB₁=a，
∴B₁（a，a），
把B₁（a，a）代入y=x²得a²=a，解得a₁=0（舍去），a₂=1，
∴B₁（1，1），
设A₁D=b，
∵△A₁B₂A₂为等腰直角三角形，
∴A₁D=A₂D=DB₂=b，
∴B₂（b，b+2），
把B₂（b，b+2）代入y=x²得b²=b+2，解得b₁=-1（舍去），b₂=2，
∴B₂（2，4），
∴线段A₁A₂的长为4，
同理可得A₂A₃=6，A_n-1A_n=2n，
∴△A_n-1B_nA_n的面积=$\frac{1}{2}$•2n•n=n²．
故答案为（1，1）；4；n²．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了等腰直角三角形的性质．