Question

【题目】已知x≠1,(1+x)(1-x)=1-,(1-x)(1+x+)=1-,(1-x)(1+x++)=1-.

（1）根据以上式子计算：

①（1-2）×（1+2++++）：②2+++…+（n为正整数）：

③（x-1)( +++…++x+1).

（2）通过以上计算，请你进行下面的探索：

①（a-b)(a+b)=______________:②(a-b) (+ab+)=_________________:

③(a-b)( +b++)=_____________.

Answer 1

【答案】（1）①原式＝－63；②原式＝2n＋1－2；③原式＝x100－1；（2）①a2－b2；②a3－b3；③a4－b4

【解析】试题分析: （1）利用猜想的结论得到①（1-2）（1+2+22+23+24+25）=-63；

②先变形2+22+23+24+…+2n=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1），然后利用上述结论写出结果；

③先变形得到（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=-（1-x）（1+x+x2+…+x99），然后利用上述结论写出结果；

（2）（3）根据规律易得①（a-b）（a+b）=a2-b2；②（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；③（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4．

试题解析:

(1) ①（1-2）×（1+2+2+2+2+2）

=1-26

=1-26

=1-64

=-63

②2+22+23+24+…+2n

=2（1+2+22+23+24+…+2n-1）

=-2（1-2）（1+2+22+23+24+…+2n-1）2(12n)

=2n＋1－2

③（x-1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）

=-（1-x）（1+x+x2+…+x99）

=(1)

=1

（2）

①(ab)(a+b)=ab；

②(ab)(a+ab+b)=ab；

③(ab)(a+ab+ab+b)=a4-b4.

点睛: 本题考查了整式的混合运算：先进行乘方运算，然后进行乘除运算，再进行加减运算；有括号先算括号．也考查了实数的运算．