【题目】已知:如图,AB是⊙O的直径,△ABC内接于⊙O.点D在⊙O上,AD平分∠CAB交BC于点E,DF是⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
(1)求证;DF⊥AF;
(2)若⊙O的半径是5, AD=8,求DF的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)连接OD,得OD⊥DF,借助AD平分∠CAB,证明AF∥OD,可证DF⊥AF;
(2)证明△FAD∽△DAB,可得DF长.
(1)证明:连接OD.
∵DF是⊙O的切线,
∴OD⊥DF.
∴∠ODF =90°.
∵AD平分∠CAB,
∴∠CAD =∠DAB.
又∵OA=OD,
∴∠DAB =∠ADO.
∴∠CAD =∠ADO.
∴AF∥OD.
∴∠F+∠ODF =180°.
∴∠F =180°-∠ODF=90°.
∴DF⊥AF.
(2)解:连接DB.
∵AB是直径,⊙O的半径是5, AD=8,
∴∠ADB=90°,AB=10.
∴.
∵∠F=∠ADB=90°,∠FAD =∠DAB,
∴△FAD∽△DAB.
∴.
∴.
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【题目】如图,点A,B为定点,定直线l//AB,P是l上一动点.点M,N分别为PA,PB的中点,对于下列各值:
①线段MN的长;
②△PAB的周长;
③△PMN的面积;
④直线MN,AB之间的距离;
⑤∠APB的大小.
其中会随点P的移动而变化的是( )
A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤
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【题目】某校开设了“3D”打印、数学史、诗歌欣赏、陶艺制作四门校本课程,为了解学生对这四门校本课程的喜爱情况,对学生进行了随机问卷调查(问卷调查表如图所示),将调查结果整理后绘制例图1、图2两幅均不完整的统计图表.
校本课程 | 频数 | 频率 |
A | 36 | 0.45 |
B |
| 0.25 |
C | 16 | b |
D | 8 |
|
合计 | a | 1 |
请您根据图表中提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的a= ,b= ;
(2)“D”对应扇形的圆心角为 度;
(3)根据调查结果,请您估计该校2000名学生中最喜欢“数学史”校本课程的人数;
(4)小明和小亮参加校本课程学习,若每人从“A”、“B”、“C”三门校本课程中随机选取一门,请用画树状图或列表格的方法,求两人恰好选中同一门校本课程的概率.
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【题目】如图,AB是半圆O的直径,射线AM⊥AB,点P在AM上,连接OP交半圆O于点D,PC切半圆O于点C,连接BC,OC.
(1)求证:△OAP≌△OCP;
(2)若半圆O的半径等于2,填空:
①当AP= 时,四边形OAPC是正方形;
②当AP= 时,四边形BODC是菱形.
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【题目】已知:如图,⊙O的半径为r,在射线OM上任取一点P(不与点O重合),如果射线OM上的点P',满足OP·OP'=r2,则称点P'为点P关于⊙O的反演点.
在平面直角坐标系xOy中,已知⊙O的半径为2.
(1)已知点A (4,0),求点A关于⊙O的反演点A'的坐标;
(2)若点B关于⊙O的反演点B'恰好为直线与直线x=4的交点,求点B的坐标;
(3)若点C为直线上一动点,且点C关于⊙O的反演点C'在⊙O的内部,求点C的横坐标m的范围;
(4)若点D为直线x=4上一动点,直接写出点D关于⊙O的反演点D'的横坐标t的范围.
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【题目】一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球,在每一个小球上书写一个汉字,这些汉字组成一句话:“知之为知之,不知为不知,是知也”.随机摸出一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次取出的小球都是“知”的概率是______.
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【题目】如图,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,得到折痕EF,把纸片展平,再一次折叠纸片,使点A落在EF上的点A′处,并使折痕经过点B,得到折痕BM,若矩形纸片的宽AB=4,则折痕BM的长为( )
A.B.
C.8D.
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【题目】甲、乙两个药店销售同一种口罩,在甲药店,不论一次购买数量是多少,价格均为3元/个;在乙药店,一次性购买数量不超过100个时,价格为3.5元/个;一次性购买数量超过100个时,其中100个的价格仍为3.5元/个,超过100个的部分的价格为2.5元/个.
(1)根据题意填表:
一次性购买数量(个) | 50 | 100 | 150 |
甲药店花费(元) |
| 300 |
|
乙药店花费(元) |
| 300 |
|
(2)当一次性购买多少个口罩时,在乙药店购买比在甲药店购买可以节约100元?
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