Question

13．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10$\sqrt{3}$，∠A=30°，求BD+$\frac{1}{2}$AD和2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值．

Answer 1

分析 在AC的上方作∠EAC=30°，延长BC交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F交AC于点D，此时BD+$\frac{1}{2}$AD最小，根据边角关系可得出△ABE为等边三角形，由此即可得出BD+$\frac{1}{2}$AD的最小值；在AC的上方作∠MAC=45°，延长BC交AM于点M，过点B作BN⊥AM于点N交AC于点D，此时2BD+$\sqrt{2}$AD最小，根据边角关系可得出△BMN为等腰直角三角形，利用特殊角的三角形函数值找出BC和AC的长度，进而可得出BF的长度，由此即可得出2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值．

解答 解：在AC的上方作∠EAC=30°，延长BC交AE于点E，过点B作BF⊥AE于点F交AC于点D，此时BD+$\frac{1}{2}$AD最小，如图1所示．
∵∠BAC=30°，∠EAC=30°，
∴∠BAE=60°．
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BE．
∵AC为∠BAE的角平分线，
∴△ABE为等边三角形．
∵AB=10$\sqrt{3}$，
∴BE=BD+DF=BD+$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=15．
∴BD+$\frac{1}{2}$AD的最小值为15．
在AC的上方作∠MAC=45°，延长BC交AM于点M，过点B作BN⊥AM于点N交AC于点D，此时2BD+$\sqrt{2}$AD最小，如图2所示．
∵∠MAC=45°，∠ACB=90°，
∴△ACM为等腰直角三角形，∠AMC=45°．
在Rt△ABC中，AB=10$\sqrt{3}$，∠BAC=30°，∠ACB=90°，
∴BC=AB•sin∠BAC=5$\sqrt{3}$，AC=AB•cos∠BAC=15．
∴MC=AC=15．
∵BN⊥AM，
∴△BMN为等腰直角三角形，
∵BM=BC+MC=5$\sqrt{3}$+15，
∴BN=BD+DN=BD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BM=$\frac{5\sqrt{6}+15\sqrt{2}}{2}$，
∴2BD+$\sqrt{2}$AD的最小值为5$\sqrt{6}$+15$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是找出点D的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意画出图形，利用数形结合解决问题是关键．