Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，求证：BC²=2AC•CD．
（要求用三种方法解题）

Answer 1

分析：通过不同的添加辅助线的方法运用相似三角形的判定方法判定其相似，再根据相似三角形的对应边对应成比例，从而便可得到结论．

解答：证明：如图一：
延长CA到E，CA=AE，连接BE，
则有∵AB=AC，∴AB=

1

2

CE．
∴△CBE是直角三角形．
∴∠CBE是直角，（一边上的中线等于这一边长的一半的三角形是直角三角形）．
∴∠C=∠C，∠BDC=∠EBC=90°，
∴△BCD∽△ECB．
∴BC²=EC•CD=2AC•CD．

如图二：
作AE⊥BC于E，
∴∠C=∠C，∠AEC=∠BDC=90°，
则有△ACE∽△BCD．
得

CE

CD

=

AC

BC

．
即CE•BC=CD•AC．
从而得：BC²=2AC•CD．

如图三：
在DA上截取DE=DC，连接BE，
则有△BCE∽△ACB．
得

BC

AC

=

CE

BC

=

2CD

BC

．
从而BC²=2AC•CD．

点评：此题主要考查辅助线的添加及相似三角形的判定方法的运用．综合性比较强，对学生分析问题的能力要求比较高．