精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图是以点O为圆心的半圆,AB是半圆的一条弦,延长OB与过点A的直线交于点C,AB=BC=OB.
(1)试求∠C的度数.
(2)若 D是AC上一点,且AD=BD,试说明BD是⊙O的切线.
(3)在(2)的情况下,若圆O的半径为2,求BD的长.
分析:(1)利用直角三角形的判定得出△OAC是直角三角形,再利用等腰三角形的性质得出,进而得出∠OAB+∠BAC=x+2x=90°,即可得出答案;
(2)利用等腰三角形的性质得出∠BAD=∠ABD=30°,再利用切线的判定得出∠OBD=90°,即可得出答案;
(3)利用等边三角形的判定得出△OAB为等边三角形,再利用锐角三角函数求出BD即可.
解答:(1)解:如图1,在△OAC中,
∵AB=BC=OB,
∴△OAC是直角三角形,即∠OAC=90°,
设∠C=x,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠C=x,
则∠OBA=2x,
∵OA=OB,
∴∠OAB=2x,
∴∠OAB+∠BAC=x+2x=90°,
解得:x=30°,
故∠C等于30°.

(2)证明:如图1,
由(1)得:∠C=30°,
则∠OAB=∠OBA=60°,
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD=30°,
∴∠OBD=90°,
∵OB是半径,
∴BD是⊙O的切线.

(3)解:如图2,过点D作DE⊥AB于点E,
∵由(1)可得,AO=OB,∠OAB=∠OBA=60°,
∴△OAB为等边三角形,
∵圆O的半径为2,
∴AB=2,
∵AD=BD,∠ABD=30°,
∴AE=BE=1,
∴cos30°=
BE
BD

故BD=
BE
cos30°
=
1
3
2
=
2
3
3
点评:此题主要考查了直角三角形的判定以及等边三角形的判定和切线的判定等知识,熟练利用相关判定定理得出是解题关键.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,C为切点,若两圆的半径分别是10cm、6cm,则弦AB的长为(  )
A、16cmB、12cmC、8cmD、6cm

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

26、如图,以点O为圆心的两个同心圆中,矩形ABCD的边BC为大圆的弦,边AD与小圆相切于点M,OM的延长线与BC相交于点N.
(1)点N是线段BC的中点吗?为什么?
(2)若圆环的宽度(两圆半径之差)为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,以点O为圆心的两个同心圆,当大圆的弦AB与小圆相切时弦长AB=8,则这两个同心圆所形成的圆环的面积是
16π
16π

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源:2012年福建省漳州市中考数学模拟试卷(二)(解析版) 题型:解答题

如图是以点O为圆心的半圆,AB是半圆的一条弦,延长OB与过点A的直线交于点C,AB=BC=OB.
(1)试求∠C的度数.
(2)若 D是AC上一点,且AD=BD,试说明BD是⊙O的切线.
(3)在(2)的情况下,若圆O的半径为2,求BD的长.

查看答案和解析>>

同步练习册答案