Question

如图，一架梯子AB斜靠在一面墙上，梯子长25m，梯子底端B到墙面AC的距离是7m．
（1）如果梯子的顶端A向下滑动距离为1，求梯子底端B在水平方向滑动的距离；
（2）梯子的顶端A向下滑动距离可否等于梯子的底端B在水平方向滑动的距离？请分析说明；
（3）当梯子顶端A向下滑动距离为多少时，△ACB的面积最大？求出面积的最大值．

Answer 1

考点：勾股定理的应用

专题：

分析：（1）先根据勾股定理求出AC的长，故可得出CE的长，再求出CD的长即可得出结论；
（2）设AE=BD=x，再根据勾股定理即可得出结论；
（3）当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，故此时三角形是等腰直角三角形，根据勾股定理求出斜边长即可．

解答：解：（1）∵BC=7m，AB=25m，
∴AC=

252-72

=24．
∵梯子的顶端A向下滑动距离为1m，
∴CE=24-1=23（m）．
在Rt△CDE中，
∵DE=25m，CE=23m，
∴CD=

252-232

=4

6

（米），
∴BD=CD-BC=（4

6

-7）米．
答：梯子底端B在水平方向滑动的距离是（4

6

-7）米；

（2）能．
设AE=BE=x，
∵AC=24m，BC=7m，AB=25m，
∴CE=24-x，CD=BC+BD=7+x，
∴（24-x）²+（7+x）²=25²，解得x=17．
∴当梯子的顶端A向下滑动17米时等于梯子的底端B在水平方向滑动的距离；

（3）∵当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大，
∴此时h=

1

2

AB=

1

2

×25=12.5，
∴S_最大=

1

2

AB•h=

1

2

×25×12.5=156.25（m²）．
∵当面积最大时△ABC是等腰直角三角形，
∴2AC²=AB²，即2AC²=25²，解得AC=

25 2

2

，
∴当梯子顶端A向下滑动（24-

25 2

2

）m时，△ACB的面积最大．

点评：本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．