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已知抛物线y=ax2-2ax+c与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,点A的坐标是(-1,0),O是坐标原点,且|OC|=3|OA|
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)直接写出直线BC的函数表达式;
(3)如图1,D为y轴的负半轴上的一点,且OD=2,以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动,在运动过程中,设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s,运动的时间为t秒(0<t≤2).
求:①s与t之间的函数关系式;
②在运动过程中,s是否存在最大值?如果存在,直接写出这个最大值;如果不存在,请说明理由.
(4)如图2,点P(1,k)在直线BC上,点M在x轴上,点N在抛物线上,是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形?若存在,请直接写出M点坐标;若不存在,请说明理由.
(1)∵A(-1,0),|OC|=3|OA|
∴C(0,-3)
∵抛物线经过A(-1,0),
C(0,-3)
c=-3
(-1)2×a-2a×(-1)+c=0

a=1
c=-3

∴y=x2-2x-3.

(2)由(1)的抛物线知:点B(3,0);
设直线BC的解析式为:y=kx-3,代入B点坐标,得:
3k-3=0,解得 k=1
∴直线BC的函数表达式为y=x-3.

(3)当正方形ODEF的顶点D运动到直线BC上时,设D点的坐标为(m,-2),
根据题意得:-2=m-3,∴m=1.
①当0<t≤1时,正方形和△OBC的重合部分是矩形;
∵OO1=t,OD=2
∴S1=2t;
当1<t≤2时,正方形和△OBC的重合部分是五边形,如右图;
∵OB=OC=3,∴△OBC、△D1GH都是等腰直角三角形,∴D1G=D1H=t-1;
S2=S矩形DD1O1O-S△D1HG=2t-
1
2
×(t-1)2=-
1
2
t2+3t-
1
2

②由①知:
当0<t≤1时,S=2t的最大值为2;
当1<t≤2时,S=-
1
2
t2+3t-
1
2
=-
1
2
(t-3)2+4,由于未知数的取值范围在对称轴左侧,且抛物线的开口向下;
∴当t=2时,函数有最大值,且值为 S=-
1
2
+4=
7
2
>2.
综上,当t=2秒时,S有最大值,最大值为
7
2


(4)由(2)知:点P(1,-2).假设存在符合条件的点M;
①当AM
.
PN时,点N、P的纵坐标相同,即点N的纵坐标为-2,代入抛物线的解析式中有:
x2-2x-3=-2,解得 x=1±
2

∴AM=NP=
2

∴M1(-
2
-1,0)、M2
2
-1,0).
②当AN
.
PM时,平行四边形的对角线PN、AM互相平分;
设M(m,0),则 N(m-2,2),代入抛物线的解析式中,有:
(m-2)2-2(m-2)-3=2,解得 m=3±
6

∴M3(3-
6
,0)、M4(3+
6
,0).
综上,存在符合条件的M点,且坐标为:
M1(-
2
-1,0)、M2
2
-1,0)、M3(3-
6
,0)、M4(3+
6
,0).
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