Question

已知，二次函数y=ax²+bx的图象如图所示．
（1）若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式；
（2）已知一次函数y=kx+n，点P（m，0）是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=ax²+bx的图象于点N．若只有当1＜m＜

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3

时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；
（3）若一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称轴方程为x=1，可得出函数经过点（0，0）和（2，0），结合顶点坐标可得出抛物线的解析式；
（2）根据题意可判断出一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和

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3

，代入二次函数解析式可求出交点坐标，代入一次函数解析式可得出k与n的值，继而得出一次函数解析式．
（3）先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根可得到关于q的不等式，求出q的取值范围即可．

解答：解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，-3），
∵二次函数的对称轴方程为x=1，
∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），
于是得到方程组

a+b=-3 4a+2b=0.

，
解得：

a=3 b=-6.

，
故二次函数的解析式为 y=3x²-6x．

（2）由（1）得二次函数解析式为y=3x²-6x．
依题意可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和

5

3

，
由此可得交点坐标为（1，-3）和(

5

3

， -

5

3

)，
将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+n中，
得

k+n=-3 5 3 k+n=- 5 3

，
解得：

k=2 n=-5

，
故一次函数的解析式为y=2x-5．

（3）一元二次方程ax²+bx+q=0有实数根，可以理解为y=ax²+bx和y=-q有交点，

可见，-q≥-3，
解得：q≤3，
故q的最大值为3．

点评：本题考查了二次函数与一次函数的综合，第一问是常见的问题，利用待定系数法可以解决，第二问的关键是确定交点的坐标，第三问的关键是数形结合，难度较大．