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如图,一个隧道的横截面成抛物线形,它的底部宽12米、高6米.车辆在此隧道可以双向通行,但规定车辆必须在隧道的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶,并保持车辆顶部与隧道的空隙不少于数学公式米.
(1)画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系;
(2)在第(1)小题的基础上,求该隧道横截面的抛物线的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)你能否根据题中的要求,应用已有的二次函数知识,确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米?

解:(1)画出以抛物线的顶点O为原点的直角坐标系如图示:

(2)可设抛物线的函数关系式为y=ax2 (a<0),
把点B(6,-6)坐标代入上式,得-6=a×62
解得:a=-
故y=-x2 (-6≤x≤6).
(3)如图示,用线段EF表示通过隧道车辆的高度h米,延长FE交抛物线于点C,交x轴于点D,
根据题意,则CE=DF-EF-CD=6-h-|y|=6-h-x2
整理得:h≤-x2+(-4≤x≤4,且 x≠0 ).
∵a=-<0,
∴当0<x≤4时,二次函数h随x的增大而减小;
当x=4时,函数h取得最小值,最小值为 h=-×42+=3,
∴h≤3.
所以,通过隧道车辆的高度不能超过3米.
分析:(1)根据题意作出坐标系即可;
(2)设抛物线的函数关系式为y=ax2,找出函数图象上的坐标,求出函数解析式即可;
(3)根据题意,求出当x=6-2时y的值,根据车辆顶部与隧道的空隙不少于米可得出不等式,从而得出通过隧道车辆的高度的最大值.
点评:本题考查了二次函数的应用,涉及了待定系数法求二次函数解析式得知识,解答本题的关键是建立直角坐标系,将实际问题转化为数学模型,难度一般.
练习册系列答案
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A、5
B、7
C、
37
5
D、
37
7

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A、
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2
B、
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2
C、
14
2
D、
15
2

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米.
(1)画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系;
(2)在第(1)小题的基础上,求该隧道横截面的抛物线的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)你能否根据题中的要求,应用已有的二次函数知识,确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米?

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科目:初中数学 来源:2013年海南省海口市中考数学模拟试卷(九)(解析版) 题型:解答题

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(1)画出以抛物线的顶点为原点的直角坐标系;
(2)在第(1)小题的基础上,求该隧道横截面的抛物线的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;
(3)你能否根据题中的要求,应用已有的二次函数知识,确定通过隧道车辆的高度不能超过多少米?

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