【题目】如图1,在ABCD中,AE⊥BC于E,E恰为BC的中点.tanB=2.
(1)求证:AD=AE;
(2)如图2.点P在BE上,作EF⊥DP于点F,连结AF.线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?并说明理由;
(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC,上任意一点(P不与点E重合)时,作EF⊥DP于点F,连结AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?请在图3中补全图形,直接写出结论.
【答案】(1)见解析;(2)DF﹣EF=AF,见解析;(3)①当EP在线段BC上时,有DF﹣EF=AF,②当点F在PD上,DF+EF=AF,③当点F在PD的延长线上,EF﹣DF=AF,见解析.
【解析】
(1)首先根据∠B的正切值知:AE=2BE,而E是BC的中点,结合平行四边形的对边相等即可得证.
(2)此题要通过构造全等三角形来求解;作GA⊥AF,交BD于G,通过证△AFE≌△AGD,来得到△AFG是等腰直角三角形且EF=GD,由此得证.
(3)辅助线作法和解法同(2),只不过结论有所不同而已.
(1)证明:如图1中,
∵tanB=2,
∴AE=2BE;
∵E是BC中点,
∴BC=2BE,
即AE=BC;
又∵四边形ABCD是平行四边形,则AD=BC=AE;
(2)证明:作AG⊥AF,交DP于G;(如图2)
∵AD∥BC,
∴∠ADG=∠DPC;
∵∠AEP=∠EFP=90°,
∴∠PEF+∠EPF=∠PEF+∠AEF=90°,
即∠ADG=∠AEF=∠FPE;
又∵AE=AD,∠FAE=∠GAD=90°﹣∠EAG,
∴△AFE≌△AGD,
∴AF=AG,即△AFG是等腰直角三角形,且EF=DG;
∴FG=AF,且DF=DG+GF=EF+FG,
故DF﹣EF=AF;
(3)解:如图3,
①当EP在线段BC上时,有DF﹣EF=AF,
证明方法类似(2).
②如图3﹣1中,点F在PD上,DF+EF=AF.
理由:将△AEF绕点A逆时针旋转90°得到△ADG
∴△AEF≌△ADG,
同(1)可得:DG=EF,AG=AF,
GF=AF,
则EF+DF=AF.
③如图3﹣2,点F在PD的延长线上,EF﹣DF=AF,
证明方法类似(2).
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【题目】如图,在△ABC中,以AC为直径的⊙O交AB于点D,连接CD,∠BCD=∠A.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若BC=5,BD=3,求点O到CD的距离.
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【题目】小王是“新星厂”的一名工人,请你阅读下列信息:
信息一:工人工作时间:每天上午8:00—12:00,下午14:00—18:00,每月工作25天;
信息二:小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表:
生产甲种产品数(件) | 生产乙种产品数(件) | 所用时间(分钟) |
10 | 10 | 350 |
30 | 20 | 850 |
信息三:按件计酬,每生产一件甲种产品得1.50元,每生产一件乙种产品得2.80元;
信息四:该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成,小王每月的底薪为1900元.请根据以上信息,解答下列问题:
(1)小王每生产一件甲种产品和一件乙种产品分别需要多少分钟;
(2)2018年1月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60件,则小王该月收入最多是多少元?此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件?
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【题目】某市飞翔航模小队,计划购进一批无人机.已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元,4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元.
(1)求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元?
(2)该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台,并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍.设购进A型无人机x台,总费用为y元.
①求y与x的关系式;
②购进A型、B型无人机各多少台,才能使总费用最少?
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【题目】如图,在⊙O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO于点D,交AC于点E,交⊙O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.
(1)判断CM与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.
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【题目】每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命,令人痛心疾首.今年某校为确保学生安全,开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛.现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示,共分成四组:A.80≤x≤85,B.85≤x≤90,C.90≤x≤95,D.95≤x≤100),下面给出了部分信息:
七年级10名学生的竞赛成绩是:99,80,99,86,99,96,96,100,89,82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是:94,90,94
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中a,b,c的值;
(2)根据以上数据,你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好?请说明理由(一条理由即可);
(3)该校七、八年级共730人参加了此次竞赛活动,估计参加此次竞赛活动成绩优秀(x≧90)的学生人数是多少?
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【题目】列方程或方程组解应用题:
某校为美化校园,计划对一些区域进行绿化,安排了甲、乙两个工程队完成,已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍,并且两队在独立完成面积为400m2区域的绿化时,甲队比乙队少用4天,求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2?
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【题目】某公司投入研发费用40万元(40万元只计入第一年成本),成功研发出一种产品.公司按订单生产(产量=销售量),第一年该产品正式投产后,生产成本为4元/件.此产品年销售量y(万件)与售价x(元件)之间满足函数关系式y=﹣x+20.
(1)求这种产品第一年的利润W(万元)与售价x(元件)满足的函数关系式;
(2)该产品第一年的利润为24万元,那么该产品第一年的售价是多少?
(3)第二年,该公司将第一年的利润24万元(24万元只计入第二年成本)再次投入研发,使产品的生产成本降为3元/件.为保持市场占有率,公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价,另外受产能限制,销售量无法超过10万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元.
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【题目】已知:四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,给出下列4个条件:①AB∥CD;②OA=OC;③AB=CD;④AD∥BC从中任取两个条件,能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是( )
A. B. C. D.
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