Question

如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
证明：（1）2a，2b，c都是整数；
（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；
（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令x=0，x=1，x=-1然后代入二次三项式，可得出2a，2b，c都是整数．
（2）分别令令x=2，x=-2，代入二次三项式，然后利用奇偶性可分别得出结论．
（3）令x=1，a=1，b=1，c=1代入即可作出判断．
解答：证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数，
∴令x=0，a•0²+b•0+c=c，
c是整数且是平方数，
令x=1，-1时a•1²+b•1+c，a•（-1）²+b•（-1）+c是平方数，
∴可设a•1²+b•1+c=m₁²①a•（-1）²+b•（-1）+c=n₁²
②c=k₁²（m₁n₁k₁均为整数），
①-②得：2b=m₁²-n₁²，
∴2b为整数（整数相减为依然为整数），
由①得：2a=2m₁²-2b-2c，
∴2a为整数，
∴2a，2b，c都是整数；

（2）（1）中已证c是整数且是平方数，
令x=2，-2时，可设a•2²+b•2+c=m₂²③a•（-2）²+b•（-2）+c=n₂²④c=k₁²（m₂n₂k₁均为整数），
③-④得：4b=m₂²-n₂²=（m₂+n₂）（m₂-n₂）=2（2b），
∵2b为整数，
∴2（2b）为偶数，则m₂²-n₂²为偶数，
∴（m₂+n₂），（m₂-n₂）同奇同偶，
则可设（m₂+n₂）=2m，（m₂-n₂）=2n（m，n均为整数），
∴4b=2m•2n=4mn，
∴b=mn，
∴b为整数；

（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax²+bx+c=3，而3不是平方数．
∴不一定成立．
点评：本题考查完全平方数的知识，综合性较强，难度较大，注意在解决多项式的系数的和、差以及其奇偶、整问题一般思路都是用特殊值法．