Question

5．如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），B（4，0），AB的垂直平分线交y轴于点D，连接BD，M（a，1）第一象限内的点．
（1）则D（0，3），并求直线BD的解析式；
（2）当S_△DBC=S_△DBM时，求a的值；
（3）点E为y轴上的一个动点，当△CDE为等腰三角形时，求E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）设OD=x，则AD=8-x，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD=8-x，在Rt△BOD中，由勾股定理得出方程，解方程即可；直线BD的解析式为y=kx+b，由待定系数法即可得出答案；
（2）由题意得出△DBC与△DBM是等高的三角形得出直线BD与直线CM平行，求出直线CM的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$；把M（a，1）代入求出a=6即可；
（3）由勾股定理求出AB，得出AC=2$\sqrt{5}$，由勾股定理求出CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，分三种情况：①DC=DE时；②CE=CD时；③EC=ED时；分别求出点E的坐标即可．

解答 解：（1）∵A（0，8），B（4，0），
∴OA=8，OB=4，
设OD=x，则AD=8-x，
∵AB的垂直平分线交y轴于点D，
∴BD=AD=8-x，
在Rt△BOD中，由勾股定理得：x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴D（0，3）；
故答案为：0，3；
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（4，0）和D（0，3）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线BD的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3；
（2）∵S_△DBC=S_△DBM时，
∴△DBC与△DBM是等高的三角形
∴直线BD与直线CM平行，
设CM的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+b，
把C（2，4）代入得：-$\frac{3}{4}$×2+b=4，解得：b=$\frac{11}{2}$，
∴CM的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{11}{2}$；
又∵M（a，1）且在第一象限，
∴-$\frac{3}{4}$a+$\frac{11}{2}$=1，
解得：a=6；
（3）由勾股定理得，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵点C为边AB的中点，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∵AD=OA-OD=5，
∴CD=$\sqrt{A{D}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
设E（0，x），则DE=|x-3|，
分三种情况：①DC=DE时，
∴$\sqrt{5}$=|x-3|，
∴x=$\sqrt{5}$+3或x=-$\sqrt{5}$+3，
∴E（0，$\sqrt{5}$+3）或（0，-$\sqrt{5}$+3）；
②CE=CD时，过C作CF⊥AO交AO于F，如图3所示：
∴F为DE的中点，且F （0，4），
∴EF=DF=1，
∴x-4=1，
∴x=5，
∴E（0，5）；
③EC=ED时，过E作EQ⊥CD于Q，如图4所示：
则EQ∥AB，
∴Q为CD的中点，
∴E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴8-x=x-3，
解得：x=$\frac{11}{2}$，
E（0，$\frac{11}{2}$）；
综上所述：当△CDE为等腰三角形时，E点的坐标为（0，$\sqrt{5}$+3）或（0，-$\sqrt{5}$+3）或（0，5）或（0，$\frac{11}{2}$）．

点评 本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、坐标与图形性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形的面积关系等知识；本题综合性强，有一定难度．