Question

4．如图，在矩形ABCD中，点E在CD边上，将矩形ABCD沿直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．
（1）求证：△ABF∽△FCE；
（2）若AB=3，BC=5，求CE的长；
（3）当$\frac{AB}{BC}$为何值时，△FCE∽△AFE？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠B=∠C=90°，∠AFB=∠FEC即可．
（2））因为△AFE是由△ADE翻折得到，推出AD=AF=5，EF=DE，设DE=EF=x，在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，推出FC=BC-BF=1，在Rt△EFC中，根据EF²=EC²+CF²，列出方程x²=（3-x）²+1²解方程即可．
（3）只要证明∠FAE=∠DAE=∠BAF=30°，设ED=EF=a，则AD=$\sqrt{3}$a，EC=$\frac{1}{2}$a，求出AB、BC即可解决问题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC=5，AB=CD=3，
∵△AFE是由△ADE翻折得到，
∴∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠FEC，
∴△ABF∽△FCE．

（2）∵△AFE是由△ADE翻折得到，
∴AD=AF=5，EF=DE，设DE=EF=x，
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{A{F}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴FC=BC-BF=1，
在Rt△EFC中，∵EF²=EC²+CF²，
∴x²=（3-x）²+1²，
∴x=$\frac{5}{3}$．

（3）∵△FCE∽△AFE，△ABF∽△FCE，
∴∠EFC=∠FAE=∠BAF，
∵△AFE是由△ADE翻折得到，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠DAE=∠BAF=30°，设ED=EF=a，则AD=$\sqrt{3}$a，EC=$\frac{1}{2}$a，
∴AB=CD=$\frac{3}{2}$a，BC=AD=$\sqrt{3}$a，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{\frac{5}{2}a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$．
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$时，△FCE∽△AFE．

点评 本题考查相似三角形综合题、翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．