Question

11．在平面直角坐标系中，对于任意一点P（x，y），我们做以下规定：d（P）=|x|+|y|，称d（P）为点P的坐标距离．
（1）已知：点A（3，-4），求点A的坐标距离d（A）的值．
（2）如图，四边形OABC为矩形，点A，B在第一象限，且OC：OA=1：2．
①求证：d（A）=d（C）×2
②若OC=2，且满足d（A）+d（C）=d（B）+2，求点B坐标．

Answer 1

分析 （1）根据d（P）=|x|+|y|，即可求得点A的坐标距离d（A）；
（2）①先过点A作AE⊥x轴于E，作CF⊥x轴于F，则∠CFO=∠OEA=90°，再设A（a，b），C（m，n），则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，通过判定△CFO∽△OEA，可得$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=$\frac{1}{2}$，据此可得d（A）=d（C）×2；
②先过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，交y轴于H，则GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，再通过判定△BCG≌△OAE（AAS），得出OE=BG，AE=CG，BG=OE，然后由图可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，最后根据d（A）+d（C）=d（B）+2，即可得出OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，将BH=BG-GH=OE-OF，GF=CG+CF=AE+CF代入后，可得OE+AE+OF+CF=（OE-OF）+（AE+CF）+2，求得OF=1，再根据勾股定理以及相似三角形的对应边成比例，即可得出FG=CG+CF=2+$\sqrt{3}$=OH，BH=BG-OF=2$\sqrt{3}$-1，进而得到点B的坐标．

解答 解：（1）∵点A（3，-4），
∴点A的坐标距离d（A）=|3|+|-4|=3+4=7；

（2）①证明：如图，过点A作AE⊥x轴于E，作CF⊥x轴于F，则∠CFO=∠OEA=90°，
设A（a，b），C（m，n），则|a|=OE，|b|=AE，|m|=OF，|n|=CF，
∵矩形ABCO中，∠AOC=90°，
∴∠AOE+∠COF=90°，
又∵∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠COF=∠OAE，
∴△CFO∽△OEA，
∴$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CF+OF}{OE+AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{|n|+|m|}{|a|+|b|}$=$\frac{1}{2}$，
即|a|+|b|=（|m|+|n|）×2，
∴d（A）=d（C）×2；

②如图所示，过点B作BG⊥CF，交CF的延长线于G，交y轴于H，则GF=OH，GH=OF，∠G=∠AEO=90°，
∵∠BCO=90°=∠CFO，
∴∠BCG+∠FCO=∠COF+∠FCO=90°，
∴∠BCG=∠COF，
∵∠COF=∠OAE，
∴∠BCG=∠OAE，
∵四边形ABCO是矩形，
∴CB=AO，
在△BCG和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCG=∠OAE}\\{∠G=∠AEO}\\{CB=AO}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△OAE（AAS），
∴OE=BG，AE=CG，BG=OE，
由图可得，d（A）=OE+AE，d（C）=OF+CF，d（B）=BH+OH=BH+GF，
∵d（A）+d（C）=d（B）+2，
∴OE+AE+OF+CF=BH+GF+2，
又∵BH=BG-GH=OE-OF，GF=CG+CF=AE+CF，
∴OE+AE+OF+CF=（OE-OF）+（AE+CF）+2，
∴即OF=2-OF，
∴OF=1，
∵Rt△COF中，CO=2，
∴CF=$\sqrt{3}$，
又∵$\frac{OC}{AO}$=$\frac{CF}{OE}$=$\frac{OF}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{OE}$=$\frac{1}{AE}$=$\frac{1}{2}$，即OE=2$\sqrt{3}$，AE=2，
∴BG=2$\sqrt{3}$，CG=2，
∴FG=CG+CF=2+$\sqrt{3}$=OH，BH=BG-OF=2$\sqrt{3}$-1，
∴B（2$\sqrt{3}$-1，2+$\sqrt{3}$）．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质的综合应用，解题时注意：坐标平面内点到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．