Question

10．（1）如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，探究BF，DE，EF之间的数量关系，第一学习小组合作探究后，得到DE-BF=EF，请证明这个结论；
（2）若（1）中的点G在CB的延长线上，其余条件不变，请在图②中画出图形，并直接写出此时BF，DE，EF之间的数量关系；
（3）如图③，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，E，F是AC上的两点，且满足∠AED=∠BFA=∠BCD，试判断AC，DE，BF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1中，结论：DE-BF=EF．只要证明△ABF≌△DAE，即可解决问题．
（2）结论EF=DE+BF．证明方法类似（1）．
（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．只要证明△ADE≌△BAF以及DE=EC即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，结论：DE-BF=EF．理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠AFB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∵AF-AE=EF，
∴DE-BF=EF．

（2）结论EF=DE+BF．理由如下：
如图2中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，
∴∠AFB=∠DEA=90°，
∵∠BAF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，
∴∠BAF=∠ADE，
在△ABF和△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠AFB=∠AED}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，AF=DE，
∴EF=AF+AF=DE+BF．

（3）如图3中，结论：AC=BF+DE．理由如下：
连接BD．

∵∠DBC+∠BDC+∠DCB=180°，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，
又∵∠DBC=∠DAE，∠DCB=∠AED，
∴∠ADE=∠BDC，
∵∠BDC=∠BAF，
∴∠ADE=∠BAF，∵AD=AB，∠AED=∠AFB，
∴△ADE≌△BAF，
∴AE=BF，
∵AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=∠ACD，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠CDE=∠ADB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE，
∴AC=BF+DE．

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、全等三角形的点评和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．