Question

已知：如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AM是△ABC的角平分线，过点B作AM的垂线，交AM的延长线于点D，过点D作AB的垂线，垂足为E．
（1）求证：BC=2DE；
（2）如图2，作∠ABC的平分线交AC于F，连接FD交BC于G，若DG=5，FG=l5，求线段DE的长．

Answer 1

（1）证明：如图1，延长AC、BD交于点K．
∵AD⊥BK，
∴∠ADB=∠ADK=90°．
∵AD平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∴90°-∠1=90°-∠2，
∴∠AKD=∠ABD，即∠BKC=∠DBE．
∵∠ACB=90°=∠BCK=∠DEB，
∴△BDE∽△KBC，
∴DE：BC=DB：BK，
∵AK=AB，
∴DB=DK=BK，
∴BC=2DE；

（2）解：如图2，过F作FN⊥BK于N，过D作DT⊥AC于T．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∠1+∠2+∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=45°，
∵∠1=∠5，
∴∠3+∠5=45°．
∵DT⊥AC，BC⊥AC，
∴DT∥BC，
∴FC：CT=FG：GD=15：5，
设FC=3a，则CT=a．
∵Rt△CKB中，BD=DK，DT∥BC，
∴CT=TK=a，∴CK=2a，FK=5a．
∵∠FNB=90°，∠FBK=45°，
∴FN=BN．
∵∠NFK=∠NBH，∠KNF=∠HNB，FN=BN，
∴△KNF≌△HNB，
∴FK=BH=5a．
∵∠CFH=∠CBK，∠FCH=∠BCK，
∴△CFH∽△CBK，
∴CH：CK=CF：CB，
即2a×3a=CH（CH+5a），
∴CH²+5a×CH-6a²=0，
∴CH=a或CH=-6a（舍去），
∴BC=a+5a=6a，
由（1）得DE=BC=3a．
∵∠1=∠2，
∴DT=DE=3a，
∴CG：DT=FC：FT，即CG：3a=3a：4a，
∴CG=a．
∵Rt△CFG中，FG²=CF²+CG²，
∴FG=a=15，
∴a=4，
∴DE=3a=12．
分析：（1）延长AC、BD交于点K．先证明∠BKC=∠DBE，再由∠BCK=∠DEB=90°，得出△BDE∽△KBC，根据相似三角形对应边的比相等得出DE：BC=DB：BK，从而得出BC=2DE；
（2）过F作FN⊥BK于N，过D作DT⊥AC于T．由DT∥BC，得出FC：CT=FG：GD=15：5，设FC=3a，则CT=a．再利用AAS证明△KNF≌△HNB，得出FK=BH=5a，然后证明△CFH∽△CBK，则CH：CK=CF：CB，求出CH=a，BC=6a，DE=3a，再由CG：DT=FC：FT，得到CG=a，在Rt△CFG中，由于勾股定理得出FG=a=15，求出a=4，进而求出DE=12．
点评：本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，勾股定理，有一定难度，通过作辅助线构建全等三角形与相似三角形是解题的关键．