Question

已知二次函数的图象与x轴有且只有一个交点A（-2，0），与y轴的交点为B（0，4），且其对称轴与y轴平行．
（1）求该二次函数的解析式，并在所给出坐标系中画出这个二次函数的大致图象；
（2）在该二次函数位于A、B两点之间的图象上取上点M，过点M分别作x轴、y轴的垂线段，垂足分别为点C、D．求矩形MCOD的周长的最小值和此时点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求解，由题意可设抛物线的解析式y=a（x+2）²，再将已知的B点坐标代入可求出a，进而得出抛物线的解析式．
（2）设点M的坐标为（m，n），将其代入抛物线的解析式可得出m，n之间的关系式n=m²+4m+4；再由矩形周长公式可得出周长L与m，n之间的二次函数关系式L=2（n-m）；消去n可得出L与m二次函数关系式，利用顶点坐标式可求出结果．

解答：解：（1）由题意可知点A（-2，0）是抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为y=a（x+2）²
∵其图象与y轴交于点B（0，4），
∴4=4a，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=（x+2）²．

（2）设点M的坐标为（m，n），
则m＜0，n＞0，n=（m+2）²=m²+4m+4，
设矩形MCOD的周长为L；
则L=2（MC+MD）=2（|n|+|m|）
=2（n-m）
=2（m²+4m+4-m）
=2（m²+3m+4）
=2（m+

3

2

）²+

7

2

；
当m=-

3

2

时，L有最小值

7

2

，此时n=

1

4

；
∴点M的坐标为（-

3

2

，

1

4

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、矩形周长的计算方法、二次函数最值的应用等知识，难度适中．