Question

已知，如图，等边三角形ABC边长为2，以BC为对称轴将△ABC翻折，得到四边形ABDC，将此四边形放在直角坐标系xOy中，使AB在x轴上，点D在直线y=

3

2

x-

3

上．
（1）根据上述条件画出图形，并求出A、B、D、C的坐标；
（2）若直线y=

3

2

x-

3

与y轴交于点P，抛物线y=ax²+bx+c，过A、B、P三点，求这条抛物线的函数关系式；
（3）求出抛物线的顶点坐标，并指出这个点在△ABC的什么特殊位置．

Answer 1

分析：（1）已知了正三角形的边长为2，即可求得D、C的纵坐标为

3

，将其代入直线y=

3

2

x-

3

中，即可求得点D的坐标，易知四边形ABDC是菱形，根据菱形的边长为2，以及点D的坐标，即可确定出其他三点的坐标．
（2）根据直线y=

3

2

x-

3

的解析式，易求得点P的坐标，而A、B的坐标在（1）题已经求得，即可利用待定系数法求出该抛物线的解析式．
（3）可用配方法将（2）题所得函数解析式化为顶点坐标式，进而可求出其顶点坐标，再根据坐标来判断它在△ABC中的特殊位置．

解答：解：（1）依题意，四边形ABDC为菱形，
∵AB=2，∠CAB=60°，
∴C、D两点纵坐标均为

3

；
设D(x，

3

)，
∵点D在直线y=

3

2

x-

3

上，
∴

3

=

3

2

x-

3

，x=4，
∴D(4，

3

)，C(2，

3

)，A(1，0)，B(3，0)；
如图，（4分）

（2）P(0，-

3

)，抛物线过A、B、P三点，
∴

a+b+c=0 9a+3b+c=0

解得

a=- 3 3 b= 4 3 3 c=- 3

；
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

．（6分）

（3）y=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

=-

3

3

(x-2)2+

3

3

，
∴顶点(2，

3

3

)；（7分）
这个点在△ABC的内心位置．（8分）
（答外心、重心、垂心均可）

点评：此题主要考查了图形的旋转变换、等边三角形的性质、二次函数界限的确定等知识．正确的求出点D的坐标是解决此题的关键，难度适中．