Question

10．已知，如图，点B在AE上，∠BCD=α，∠CBD=∠CAB+∠E，AC=DE．
（1）若∠CBD=60°，AB=BE，则BD，BC，AB之间的数量关系为AC²=BC²+BD²+BC•BH
（2）若∠CBD=90°，AB=BE，探究BD，BC，AB之间的数量关系，并证明；
（3）若AC=kDE，AB=kBE，探究BD，BC，AB之间的数量关系．（用含有k，α的式子表示）

Answer 1

分析 （1）先得出BH=$\frac{1}{2}$BD，再判断出△ABC≌△EBF，得出EF=AC，然后用勾股定理，借助图形中线段的关系推导即可得出结论；
（2）同（1）的方法构造出全等三角形，用（1）的方法即可得出结论；
（3）同（1）的方法即可．

解答 解：（1）如图1，
过点D作DH⊥BC，
∴∠DHB=90°，
∵∠DBH=60°，
∴BH=BDcos∠DBH=BDcos60°=$\frac{1}{2}$BD；
延长CB至F，使BF=BC，
在△ABC和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BF}\\{∠ABC=∠EBF}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF，
∴EF=AC，∠BEF=∠BAC，
∵∠CBD=∠CAB+∠DEB，
∴∠DEF=∠DEB+∠BEF=∠DEB+∠BAC=∠CBD=60°，
连接DF，
∵EF=AC，DE=AC，
∴DE=EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴DF=DE=AC，
在Rt△BDH中，DH²=BD²-BH²，
在Rt△FDH中，DF²=FH²+DH²=（BF+BH）²+BD²-BH²=BF²+BH²+2BF•BH+BD²-BH²=BC2+BD2+2BC•$\frac{1}{2}$BD=BC²+BD²+BC•BH，
∴AC²=BC²+BD²+BC•BH，
故答案为：AC²=BC²+BD²+BC•BH；
（2）2AC²=BD²+BC²，
理由：如图2，

延长CB至F，使BF=BC，
在△ABC和△EBF中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=BF}\\{∠ABC=∠EBF}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBF，
∴EF=AC，∠BEF=∠BAC，
∵∠CBD=∠CAB+∠DEB，
∴∠DEF=∠DEB+∠BEF=∠DEB+∠BAC=∠CBD=90°，
连接DF，
∵EF=AC，DE=AC，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF²=2DE²=2AC²，
∵∠DBC=90°，
∴∠DBF=90°，
在Rt△DBF中，DF²=BD²+BF²=BD²+BC²，
∴2AC²=BD²+BC²，
（3）2（1+cosα）AC²=k²BD²+BC²+2kBC•BDcosα．
理由：如图3，

延长BE至E'使BE'=AB，过点E'作E'D'∥ED交BD的延长线于D'，
∴$\frac{BE}{BE'}=\frac{BD}{BD'}=\frac{DE}{D'E'}$，
∵AB=kBE，
∴D'E'=kDE，BD'=kBD，
∵AC=kDE，
∴D'E'=DE，
过点D'作D'H⊥BC于H，
∵∠CBD=α，
∴∠HBD'=180°-α，
∴BH=BD'cos（180°-α）=BD'cosα，HD'=BD'sinα，
延长CB至F使BF=BC，连接E'F，D'F，
同（1）的方法得出，△ABC≌△E'BF，
∴∠D'E'F=∠CBD=α，E'F=AC=D'E'
在Rt△FHD'中，FD'²=HD'²+FH²=HD'²+（BF-BH）²
=HD'²+BF²+BH²-2BF•BH
=（BD'sinα）²+BC²+（BD'cosα）²-2BC•BD'cosα
=（kBDsinα）²+BC²+（kBDcosα）²+2BC•kBDcosα
=k²BD²+BC²+2kBC•BDcosα，
过点D'作D'G⊥FE'交FE'于G，
同理：E'G=D'E'cosα，
FD'²=2D'E'²（1+cosα）=2AC²（1+cosα），
∴2（1+cosα）AC²=k²BD²+BC²+2kBC•BDcosα．

点评 此题相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是构造全等三角形．