Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，过O点作OP⊥AB，交弦AC于点D，交⊙O于点E，且使∠PCA=∠ABC．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠P=60°，PC=2，求PE的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠BCO+∠ACO=90°，

∵OC=OB，

∴∠B=∠BCO，

∵∠PCA=∠ABC，

∴∠BCO=∠ACP，

∴∠ACP+∠OCA=90°，

∴∠OCP=90°，

∴PC是⊙O的切线；

（2）解：∵∠P=60°，PC=2，∠PCO=90°，

∴OC=2 ，OP=2PC=4，

∴PE=OP﹣OE=OP﹣OC=4﹣2 ．

【解析】（1）PC与圆有公共点，要证切线，须连公共点和圆心，证这条半径和PC垂直，须转化∠ACP和∠OCA即可；（2）利用三角函数关系求出OP,减去半径OE即可.