Question

如图，在梯形中，为的中点，交于点．
（1）求证：；
（2）当，且平分时，求的长．

Answer 1

（1）证明详见解析.（2）EF=4.

试题分析：根据题意构造辅助线，利用中线性质和平行四边形性质即可得出结论.
(1)过D作DM∥AB，∵AD∥BC，DM∥AB，∴四边形ABMD为平行四边形，∴BM=AD∵，∴EF∥DM，又∵E为CD的中点∴F为CM中点即MF=CF，∴BF=BM+MF=AD+CF.
(2)过E作EH⊥AB，∵BE平分，∴CE=EH=DE（角平分线上一点到角两边的距离相等），在Rt△ADE和Rt△AHE中，DE=EH，AE=AE∴Rt△ADE≌Rt△AHE（SH定理）∴AH=AD=1，同理可得BH=BC=7，∴AB=AH+BH=8∵四边形ABMD为平行四边形，∴DM=AB=8，又∵E、F分别为CD、CM中点，∴.