Question

已知数轴上A、B两点所表示的数分别为a和b．
（1）如图，a=-1，b=7时
①求线段AB的长；
②若点P为数轴上与A、B不重合的动点，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在数轴上运动时，MN的长度是否发生改变？若不变，并求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
（2）不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、Q，如果|a-c|-|b-c|=|a-b|，那么，Q点应在什么位置？请说明理由．

Answer 1

解：（1）①AB=7-（-1）=8；     
②当点P在点A的左侧运动时
MN=NP-MP=BP-AP=AB=4    
当点P在A、B两点之间运动时；
MN=MP+NP=AP+BP=AB=4    
当点P在点A的右侧运动时
MN=MP-NP=AP-BP=AB=4；     

（2）|a-c|是A，Q间的距离，|b-c|是B，Q间的距离，|a-b|是A，B间的距离．
|a-c|-|b-c|=|a-b|，
当b＞a时，Q在B的右侧；
当a＞b时，Q在B的左侧．
分析：（1）①根据数轴与绝对值知，AB=|OB|+|OA|；
②分两种情况进行讨论：①当点P在点A的左侧运动时；②当点P在A、B两点之间运动时；③当点P在点A的右侧运动时．分三种情况讨论可求线段MN的长；
（2）分b＞a时；a＞b时；分两种情况讨论可得Q点应在的位置．
点评：本题主要考查了数轴、比较线段的才长短．解答此题时，既采用了形象、直观的“数形结合”的数学思想，又利用了不至于漏解的分类讨论的数学思想．