Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=3，∠BAD=120°，E为BC上一动点（不与B重合），作EF⊥AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE=x，△DEF的面积为S．
（1）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围；
（2）是否存在一点E，使S_△DEF：S_ABCD=1：2？若存在，求出相应的x；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到两组对边平行且相等，可知AD与BC平行，由两直线平行同旁内角互补可知∠A和∠B互补，由∠A的度数求出∠B的度数，又EF与AB垂直，由垂直定义得到∠BFE为直角，进而求出∠FEB为30°，又BE=x，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可表示出BF，进而利用勾股定理表示出EF，即为所求三角形的底，然后求EF边上的高，根据题意可知DG即为EF边上的高，下来求DG，在直角三角形CEG中，由对顶角相等可知∠CEG=∠FGB=30°，又EC=BC-BE，表示出EC，再根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可表示出CG，根据CG+DC即可表示出DG，最后利用三角形的面积公式即可用x表示出△DEF的面积为S，再根据E为BC上一动点，且不与B重合可知x的范围；
（2）存在，当E与C重合时，S_△DEF：S_ABCD=1：2，理由为：过D作BC边上的垂线，交BC的延长线与M，DM即为平行四边形BC边上的高，由AB与DC平行，根据两直线平行，同位角相等可知∠DCM=∠B=60°，又∠DMC=90°，可求出∠CDM=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可求出CM的长，再利用勾股定理即可求出DM的长，然后利用平行四边形的面积公式底乘以高即可求出平行四边形ABCD的面积，又S_△DEF：S_ABCD=1：2，可知三角形DEF的面积等于平行四边形面积的一半，进而求出三角形DEF的面积，令第一问表示出的S等于求出的面积，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，故存在．

解答：解：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B=180°，
又∵∠BAD=120°，
∴∠B=60°，
又∵EF⊥AB，且AB∥DC，
∴∠BFG=∠EGC=90°，
∴∠FEB=30°，又BE=x，
∴BF=

1

2

BE=

1

2

x（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
根据勾股定理得：EF=

3

2

x，
在Rt△ECG中，由BC=3，DC=4，则EC=BC-BE=3-x，
∵∠CEG=∠FEB=30°，
∴CG=

1

2

EC=

1

2

（3-x），
∴DG=DC+CG=4+

1

2

（3-x），
则△DEF的面积为S=

1

2

EF•DG=

1

2

×

3

2

x×[4+

1

2

（3-x）]=-

3

8

x²+

11 3

8

x（0＜x≤3）；

（2）存在，当E与C重合时，S_△DEF：S_ABCD=1：2，理由如下：
过D作平行四边形BC边上的高，角BC的延长线与点M，如图所示，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，
∴∠DCM=∠B=60°，
在Rt△DCM中，DC=4，∠CDM=30°，
∴CM=

1

2

DC=2，
根据勾股定理求得：DM=2

3

，
∴平行四边形ABCD的面积为BC•DM=3×2

3

=6

3

，
由S_△DEF：S_ABCD=1：2，得到S_△DEF=

1

2

S_ABCD=3

3

，
根据第一问可知：S=-

3

8

x²+

11 3

8

x=3

3

，
整理得：（x-3）（x-8）=0，
解得：x=3或x=8（舍去）．
则存在一点E，当E与C重合时，S_△DEF：S_ABCD=1：2，此时x=3．

点评：此题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，以及一元二次方程的应用，利用了函数及方程的思想．由题意得出DG为三角形DEF中EF边上的高是第一问的突破点，探究存在性问题常先假设结论成立，看是否导致矛盾，还是达到与已知条件相符，从而确定探究的结论是否正确，这种方法称为“假设验证法”，本题第二问利用的是此方法．