Question

如图，已知B（0，4），点A在第一象限，且AB⊥y轴，∠A=30°．
（1）写出点A的坐标；
（2）在坐标平面内是否存在点C，使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等？若存在求出点C的坐标；若不存在请说明理由；
（3）点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿射线AO运动，点Q从点O出发，以1厘米/秒的速度沿y轴正方向运动，点P和点Q同时出发，设运动时间是t秒，
①当t为何值时，△OPQ是直角三角形？
②当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形中的30度角所对的直角边是斜边的一半求得AO的长度，然后解直角三角形求AB的长度；
（2）存在三种情况，画出图形，根据A的坐标和全等三角形的性质求出即可；
（3）①分为两种情况，当∠OPQ=90°和∠OQP=90°，根据含30度角的直角三角形性质得出方程，求出方程的解即可；
②分为两种情况：当P在线段AO上和当P在AO延长线上，根据等腰三角形性质得出方程，求出方程的解即可．

解答：解：（1）∵B（0，4），
∴OB=4，
∵点A在第一象限，且AB⊥y轴，∠A=30°，
∴AB=

OB

tan30°

=4

3

，
∴A（4

3

，4）；

（2）存在点C，使以O、B、C为顶点的三角形与△ABO全等，
理由是：分为三种情况：①延长AB到C，使AB=BC，连接OC，如图1，
则此时△ABO≌△CBO，
此时CB=AB=4

3

，BO=4，
则C的坐标是（-4

3

，2）；
②过A作AC⊥x轴于C，连接BC，如图2，
则此时△ABO≌△COB，
则C的坐标是（4

3

，0）；
③在x轴的负半轴上，截取OC=AB，连接CB，如图3，
则此时△ABO≌△COB，
则C的坐标是（-4

3

，0）；
综合上述：C的坐标是（-4

3

，4）或（4

3

，0）或（-4

3

，0）；

（3）当∠OPQ=90°时，如图4，
∵∠AOB=60°，
∴∠OQP=30°，
∴PO=

1

2

OQ，
即8-2t=0.5t，
解得：t=3.2；
当∠OQP=90°时，
∵∠AOB=60°，
∴∠OPQ=30°，
∴PO=2OQ，
即8-2t=2t，
解得：t=2；
即当t=3.2或2时，△OPQ是直角三角形；
    
②当P在线段AO上时，如图6，
∵∠QOP=60°，△POQ是等腰三角形，
∴△POQ是等边三角形，
即OP=OQ，
∴8-2t=t，
解得：t=

8

3

；
当P在AO延长线时，如图7，
只能OQ=OP，
即2t-8=t，
解得：t=8；
∴当t=

8

3

或8时，△POQ是等腰三角形．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，坐标与图形性质，勾股定理，直角三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力，用了分类讨论思想，有一定的难度．