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如图，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为S₁，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为S₂，…，第n个正方形与第n个等腰直角三角形的面积和为S_n，猜想出S_n与n的关系________．

S_n= $\text{[math]}$
分析：观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可．
解答：可以发现，第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）¹= $\text{[math]}$ ，第3个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ ，第n个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）^（n-1）∴第n个正方形的面积=[（ $\text{[math]}$ ）²]^n-1= $\text{[math]}$ ，则第n个等腰直角三角形的面积为： $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S_n= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故答案为：S= $\text{[math]}$ ．
点评：本题利用了等腰直角三角形的性质，直角边长是斜边长的 $\text{[math]}$ 倍，及正方形的面积公式求解．找到第n个正方形的边长为（ $\text{[math]}$ ）^n-1是解题的关键．

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