Question

已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．

（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30⁰时，求点P的坐标；

（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′ 和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′ 恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

（Ⅰ）点P的坐标为（ ，6）。     

（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，

∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP。

∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC。

∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°

∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ。

又∵∠OBP=∠C=90°，

∴△OBP∽△PCQ。    

∴。

由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11－t，CQ=6－m．

∴。∴（0＜t＜11）。       

（Ⅲ）点P的坐标为（，6）或（，6）。