Question

【题目】如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM； ②△EOB≌△CMB；③MB：OE＝3：2；④四边形EBFD是菱形．其中正确结论是（　　）

A.①②③B.②③④C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先证明△BOC是等边三角形，得FO=FC，BO=BC，故①正确；因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM，故②错误；再证明四边形EBFD是平行四边形，由BE=BF推出四边形EBFD是菱形故③正确，设FM=a，则OF=OE=2a，FB=4a，由此推出④正确，由此不难得到答案．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵AO＝OC，

∴BO＝OC＝OA，

∵∠COB＝60°，

∴△BCO是等边三角形，

∴∠ACB＝∠OBC＝60°，BC＝OB，

∵FO＝FC，BO＝BC，

∴FB⊥OC，OM＝CM，故①正确，

∵∠OBC＝60°，

∴∠ABO＝30°，

∵△OBF≌△CBF，

∴∠OBM＝∠CBM＝30°，

∴∠ABO＝∠OBF，

∵AB∥CD，

∴∠OCF＝∠OAE，

∵OA＝OC，

易证△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴OB⊥EF，

∴四边形EBFD是菱形，

∴③正确，

∵△EOB≌△FOB≌△FCB，

∴△EOB≌△CMB错误．

∴故②错误，

∴∠CBM＝∠MBO＝∠OBA＝30°，∠FCO＝∠FOC＝30°，∠OFB＝∠BFC＝60°，

∴∠EBF＝∠BFE＝60°，

∴△EFB是等边三角形，

∴BE＝BF，

在△FOC和△EOA中，

，

∴△FOC≌△EOA（AAS），

∴AE＝CF，OE＝OF，

∵DC＝AB，

∴DF＝EB，

∵DF∥EB，

∴四边形EBFD是平行四边形，

∵BE＝BF，

∴四边形EBFD是菱形，故③正确，

设FM＝a，

在Rt△OFM中，∵∠FOM＝30°，

∴OF＝2FM＝2a，

在Rt△FOB中，∵∠FOB＝90°，∠FBO＝30°，

∴BF＝2OF＝4a，

∴BM＝3a，

∴BM：OE＝3：2，故④正确．

故选：D．