Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3cm，BC=7cm，∠B,P为下底BC边上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

(1)求证：△ABP∽△PCE；
(2)求腰AB的长；
(3)在底边BC上是否存在一点P，使得DE:EC=5:3.如果存在，求出BP的长；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；（2）AB=4cm；（3）BP=1cm或6cm

试题分析：（1）欲证△ABP∽△PCE，需找出两组对应角相等；由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，根据三角形外角的性质可证得∠EPC=∠BAP；由此得证；
（2）可过作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性质得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根据∠B的度数及BF的长即可求得AB的值；
（3）在（2）中求得了AB的长，即可求出DE：EC=5：3时，DE、CE的值．设BP的长为x，进而可表示出PC的长，然后根据（1）的相似三角形，可得出关于AB、BP、PC、CE的比例关系式，由此可得出关于x的分式方程，若方程有解，则x的值即为BP的长．若方程无解，则说明不存在符合条件的P点．
（1）由∠APC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；
（2）过A作AF⊥BC于F

∵等腰梯形ABCD中，AD=3cm，BC=7cm，
∴BF=2cm， 
Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；
（3）存在这样的点P．
∵DE：EC=5：3，DE+EC=DC=4
解之得EC=cm．
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得

∵AB=4，PC=7-x，

解之得x₁=1，x₂=6，
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．
点评：解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，注意对应字母在对应位置上.