Question

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点M为抛物线的对称轴上一个动点，求点M的坐标使MQ+MA的值最小；
（3）是否存在t值，线段PQ被CD垂直平分？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B点的坐标代入y=ax²+bx+4得到关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）连接BQ交直线x=$\frac{1}{2}$于点M，对称轴交x轴于E点，如图1，先利用两点坐标线段最短得到此时MA+MQ的值最小，再利用垂线段最短得到当BQ⊥AC时，BQ最短，则MA+MQ最小，然后证明Rt△BME∽Rt△CAO，利用相似比计算出ME，从而可确定M点坐标；
（3）连接CP、BC，如图，由BC=BD得到∠BDC=∠BCD，再由线段PQ被CD垂直平分得到DQ=DP，∠QDC=∠PDC，则∠QDC=∠BCD，所以DQ∥BC，则可证明△ADQ∽△ABC，然后利用相似比计算出DQ，从而得到AP的长，最后利用速度公式计算t的值．

解答 解：（1）将A、B点的坐标代入y=ax²+bx+4得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
所以抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4；
（2）当x=0时，y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x+4=4，则C（0，4），抛物线的对称轴为直线x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
连接BQ交直线x=$\frac{1}{2}$于点M，对称轴交x轴于E点，如图1，则MA=MB，
∴MA+MQ=MB+MQ=BQ，
此时MA+MQ的值最小，
当BQ⊥AC时，BQ最短，则MA+MQ最小，
∵∠QBA+∠QAB=90°，∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠ACO=∠QBA，
∴Rt△BME∽Rt△CAO，
∴ME：AO=BE：OC，即ME：3=$\frac{7}{2}$：4，解得ME=$\frac{21}{8}$，
∴M点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{21}{8}$）；
（3）存在．
连接CP、BC，如图，
∴B（-4，0），C（0，4），
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵BC=BD=4$\sqrt{2}$
∴∠BDC=∠BCD，AD=AB-BD=7-4$\sqrt{2}$，
∵线段PQ被CD垂直平分，
∴DQ=DP，∠QDC=∠PDC，
∴∠QDC=∠BCD，
∴DQ∥BC，
∴△ADQ∽△ABC，
∴DQ：BC=AD：AB，即DQ：4$\sqrt{2}$=（7-4$\sqrt{2}$）：7，解得DQ=$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$，
∴DP=$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$，
∴AP=AD+DP=7-4$\sqrt{2}$+$\frac{28\sqrt{2}-32}{7}$=$\frac{17}{7}$，
∴t=$\frac{17}{7}$÷1=$\frac{17}{7}$，
即t的值是$\frac{17}{7}$秒．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和垂直平分线的性质；会运用待定系数法求二次函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用相似比计算线段的长；能利用两点之间线段最短和垂线段最短解决最短路径问题．