Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：
（1）△AEF≌△BEC；
（2）四边形BCFD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）利用等边三角形的性质得出∠DAB=60°，即可得出∠ABC=60°，进而求出△AEF≌△BEC（ASA）；
（2）利用平行线的判定方法以及直角三角形的性质得出CF∥BD，进而求出答案．

解答 证明 （1）∵E是AB中点，∴AE=BE，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=60°，
在△AEF和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAE=∠CBE}\\{AE=BE}\\{∠AEF=∠BEC}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEC（ASA）；

（2）∵∠DAC=∠DAB+∠BAC，∠DAB=60°，∠CAB=30°，
∴∠DAC=90°，
∴AD∥BC，
∵E是AB的中点，∠ACB=90°，
∴EC=AE=BE，
∴∠ECA=30°，∠FEA=60°，
∴∠EFA=∠BDA=60°，
∴CF∥BD，
∴四边形BCFD是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定方法，得出∠ABC=60°是解题关键．