Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC(或它们的延长线)于点M、N，AH⊥MN于点H．

(1)如图，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：________；

(2)如图，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；

(3)如图，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，NH＝3，求AH的长．

(可利用(2)得到的结论)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)如图AH＝AB　　1分 　　(2)数量关系成立．如图，延长CB至E，使BE＝DN 　　∵ABCD是正方形 　　∴AB＝AD，∠D＝∠ABE＝90° 　　∴Rt△AEB≌Rt△AND　　3分 　　∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD 　　∴∠EAM＝∠NAM＝45° 　　∵AM＝AM 　　∴△AEM≌△ANM　　4分 　　∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， 　　∴AB＝AH　　5分 　　(3)如图分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH， 　　得到△ABM和△AND 　　∴BM＝2，DN＝3，∠B＝∠D＝∠BAD＝90° 　　分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE． 　　由(2)可知，AH＝AB＝BC＝CD＝AD． 　　设AH＝x，则MC＝， 　　NC＝　　② 　　在Rt⊿MCN中，由勾股定理，得 　　 　　∴　　6分 　　解得．(不符合题意，舍去) 　　∴AH＝6　　7分