Question

13．已知AB是⊙O的切线，切点为B，直线AO交⊙O于C、D两点，CD=4，∠DAB=30°，动点P在直线AB上运动，射线PC交⊙O于另一点Q，
（1）当点P运动到Q、C两点重合时（如图1），求AP的长．
（2）在点P的运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为2？（直接写出答案）
（3）当使△CQD的面积为2，且Q位于以CD为直径的上半圆上，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．

Answer 1

分析 （1）首先根据题意得到PC为⊙O的切线，在Rt△ACP中，利用锐角三角形函数值的定义求出AP的长；
（2）首先根据题意可得到△CQD中CD边上的高为1，进而作出图形得到答案；
（3）过点P作PM⊥AD于点M，过点Q作QN⊥AD于点N，连接QD，根据相似三角形的性质可得QN²=CN×DN，设CN=x，则DN=4-x，列出x的方程，求出x的值，进而求出AP的长度．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA=90°，
∵Rt△ABC中，直径CD=4，∠DAB=30°，
∴OB=OC=AC=2，
∵当点P运动到Q、C两点重合时，PC为⊙O的切线，
∴∠PCA=90°，
∵∠DAB=30°，AC=2，
∴AP=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
（2）4种，如图1，由CD=4，S_△CQD=2，
故CD上的高的长度为1，由图可知有4个位置使△CDQ的面积为2；
（3）过点P作PM⊥AD于点M，过点Q作QN⊥AD于点N，连接QD，
∵S_△CQD=2，
∴$\frac{1}{2}$QN×CD=2，
∴QN=1，
∵CD是圆O的直径，
∴∠CQD=90°
易证△QCN∽△DQN，
∴$\frac{QN}{DN}=\frac{CN}{QN}$，
∴QN²=CN×DN，
设CN=x，则DN=4-x，
∴x（4-x）=1，
解得：x=2±$\sqrt{3}$，
∵CQ＞QD，
∴CN=2+$\sqrt{3}$，
∴$\frac{CN}{QN}$=2+$\sqrt{3}$，
易证：△PMC∽△QNC，得：$\frac{CN}{QN}=\frac{CM}{MP}$=2+$\sqrt{3}$，
∴CM=2（2+$\sqrt{3}$）MP，
在Rt△AMP中易得：AM=$\sqrt{3}$MP，
∵AM+CM=AC=2，
∴（2+$\sqrt{3}$）MP+$\sqrt{3}$MP=2，
∴MP=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
∴AP=2MP=$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查了圆的综合题的知识，此题涉及到了相似三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的性质以及勾股定理的知识，解答本题的关键是正确地作出辅助线利用相似三角形的性质解答，此题有一定的难度．