Question

若关于x的方程（k²-2k）x²-（6k-4）x+8=0的解都是整数，试求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）根据k²-2k=0得出k的值，进而求出x的值；
（2）当k²-2k≠0进行分析，利用代入消元法求出k的值．

解答：解：（1）当k²-2k=0，即k=0或k=2，
①若k=0时，原方程化为4x+8=0，即x=-2符合题意；
②若k=2时，原方程化为
-8x+8=0，
则x=1符合题意；

（2）当k²-2k≠0，即k≠0且k≠2时，原方程可化为：
（k²-2k）x²-（6k-4）x+8=0，
解得x₁=

2

k

，x₂=

4

k-2

，将k=

2

x1

，代入x₂=

4

k-2

得x₁x₂+2x₁-x₂-2=-2，
∴

x1-1=1 x2+2=-2

或

x1- 1=-2 x2+2=1

或

x1-1=2 x2+2=-1

或

x1-1=-1 x2+2=2

∴

x1=2 x2=-4

或

x1=-1 x2=-1

或

x1=3 x2=-3

或

x1=0 x2=0

（舍去），

2 k =1 4 k-2 =-4

或

2 k =-1 4 k-2 =-1

或

2 k =3 4 k-2 =-3

，
解得：k=1或-2或

2

3

，
综上：k的值为1，-2，

2

3

点评：此题主要考查了一元二次方程整数根的求法和代入消元法解方程，题目难度不大．